chứng minh với mọi giá trị của tham số m thì phương trình x²-2(m+1)x-m²+6m-9=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Giả sử x1 < x2 là hai nghiệm của phương trình trên.Tìm giá trị của tham số m để x2 đạt giá trị...

Để phương trình $x^2-2(m+1)x-m^2+6m-9=0$ có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện $\Delta>0$. Tức là: $(2(m+1))^2-4(1)(-m^2+6m-9)>0$ Simplifying this inequality gives us: $4m^2+8m+4+4m^2-24m+36>0$ $8m^2-16m+40>0$ $2m^2-4m+10>0$ Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của $m$ vì $2m^2-4m+10$ là một hàm bậc hai với hệ số $a=2$ dương, do đó đồ thị của nó là một đường parabol hướng lên và không cắt trục hoành. Do đó, phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. Giả sử $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-2(m+1)x-m^2+6m-9=0$ với $x_1< x_2$. Ta có: $x_1+x_2=2(m+1)$ $x_1x_2=-m^2+6m-9$ Từ đó suy ra: $x_2=x_1+2(m+1)$ $x_1x_2=x_1(x_1+2(m+1))=-m^2+6m-9$ Đặt $f(x)=x(x+2(m+1))+m^2-6m+9$. Ta có: $f'(x)=2x+2(m+1)$ Vì $x_1< x_2$ nên $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=x_1$. Điều kiện để $x_1$ là điểm cực tiểu của $f(x)$ là $f'(x_1)=0$. Tức là: $2x_1+2(m+1)=0$ $x_1=-m-1$ Thay $x_1=-m-1$ vào $x_1x_2=-m^2+6m-9$ ta được: $(-m-1)x_2=-m^2+6m-9$ $x_2=\frac{m^2-7m+9}{m+1}$ Do $x_2>x_1$ nên ta có: $\frac{m^2-7m+9}{m+1}>-m-1$ $m^2-7m+9>-m^2-m-1$ $2m^2-6m+10>0$ $m^2-3m+5>0$ Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của $m$ vì $m^2-3m+5$ là một hàm bậc hai với hệ số $a=1$ dương, do đó đồ thị của nó là một đường parabol hướng lên và không cắt trục hoành. Do đó, để $x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $x_2$ khi $m$ thỏa mãn điều kiện $m^2-3m+5=0$. Giải phương trình này ta được: $m=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4(1)(5)}}{2}=\frac{3\pm i\sqrt{11}}{2}$ Vì $m$ là số thực nên giá trị của $m$ để $x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất là $m=\frac{3}{2}$. Khi đó, ta có: $x_1=-\frac{5}{2}$ $x_2=\frac