cho đa thức f (x) thỏa mãn điều kiện (x-1).f(2x+1) = 4x.f(x) .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm

Ta có: (x-1).f(2x+1) = 4x.f(x) Thay x bằng (x+1)/2, ta được: (x/2).f(x+2) = 2(x+1).f((x+1)/2) Đặt g(x) = f(x)/x, ta có: g(x+2) = 2g((x+1)/2) Đặt h(x) = g(x+1), ta có: h(x+1) = 2h(x/2) Ta sẽ chứng minh rằng h(x) có ít nhất 2 nghiệm. Đặt y = log2(x), ta có: h(2^y) = 2h(2^{y-1}) Đặt k(y) = h(2^y), ta có: k(y) = 2k(y-1) Đây là một định dạng đơn giản của phương trình tuyến tính đầu tiên, với giá trị ban đầu k(0) = h(1). Do đó, k(y) = 2^yk(0) = 2^yh(1). Vậy, h(x) = k(log2(x)) = 2^(log2(x))h(1) = xh(1) = xg(x+1) = f(x+1). Vậy, f(x+1) có ít nhất 2 nghiệm, do đó f(x) cũng có ít nhất 2 nghiệm.