Từ điểm m nằm ngoài đường tròn ( o; r) vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB của đường tròn . Cho MA.MB = 16 , MO= 5 cm . Khi đó bán kính R bằng

Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí hai tiếp tuyến: "Hai tiếp tuyến tới đường tròn tại hai điểm khác nhau có cùng độ dài". Gọi N là giao điểm của đường thẳng MT và đường trung trực của đoạn AB. Ta có: - Vì MT là tiếp tuyến của đường tròn (O; r) nên ON vuông góc với MT. - MAB là cát tuyến của đường tròn (O; r) nên OA = OB = r. Do đó, tam giác MON vuông tại O và có MN = MO - ON = MO - AN. Ta có AM.MB = 16 nên AM + MB ≥ 2√(AM.MB) = 8√2. Do đó, AN = AM + MN + NB ≥ 8√2 - MO + NB. Mà NB = NA = NO - AO = r - MO = r - 5. Vậy AN ≥ 8√2 - MO + r - 5 = 8√2 - 5. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác MON, ta có: MN² + ON² = MO² ⇒ (MO - AN)² + ON² = MO² ⇒ (MO - 8√2 + 5)² + ON² = MO² ⇒ ON² = 16√2 - 10MO + 64 Vậy R = OM + ON = r + ON = r + √(16√2 - 10MO + 64) = r + √(160 - 50r) (với r là bán kính của đường tròn (O; r)). Để tìm giá trị của r, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông: S(MON) = 1/2 MO.ON = 1/2 r(MO² - AN²) = 1/2 r(MO² - (8√2 - 5)²) Vì tam giác MAB cân nên đường trung trực của AB cũng là đường cao của tam giác. Do đó, S(MAB) = 1/2 AB.AN = 1/2 r(16)(8√2 - 5). Mà S(MON) = S(MAB) nên ta có: 1/2 r(MO² - (8√2 - 5)²) = 8r√2 - 5r ⇒ MO² - (8√2 - 5)² = 16(8√2 - 5) ⇒ MO² = 160 - 50r Vậy R = r + √(160 - 50r) = √(50r) + √(160 - 50r). Để tìm giá trị của R, ta giải phương trình: R² = 50r + 160 - 50r + 2√(50r(160 - 50r)) ⇒ R² - 160 = 2√(50r(160 - 50r)) ⇒ (R² - 160)² = 200r(160 - 50r) ⇒ 4r³ - 320r² + (R² - 160)² = 0 Đây là một phương trình bậc ba. Ta có thể giải bằng cách sử dụng công thức giải phương trình bậc ba hoặc đồ thị hàm số. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng phương pháp đặt t = √r để chuyển phương trình về dạng tuyến tính: 4t⁶ - 320t⁴ + (R² - 160)² = 0 Đây là một phương trình bậc sáu. Ta có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp Newton-Raphson hoặc đồ thị h