Cho đường tròn tâm O ,bán kính R đường kính AB dây cung MN vuông góc với AB tại H ( H nằm giữa O và B).Trên tia đối tia NM lấy điểm C sao cho đoạn AC cắt (O) tại điểm K (K khác A) hai dây MN và BK cắt...

1. Ta có: - $\angle AHB = 90^\circ$ (vì $MN \perp AB$ tại $H$) - $\angle AHE = \angle BHE$ (cùng chắn cung $AB$) - $\angle AKE = \angle BKH$ (cùng chắn cung $BK$) - $\angle BKH = \angle BAH$ (cùng nằm trên đường tròn $(O)$) - $\angle AHE = \angle AOE$ (cùng nằm trên đường tròn $(O)$) Do đó, ta có: $\begin{cases} \angle AHB = 90^\circ \\ \angle AHE = \angle BHE \\ \angle AKE = \angle BKH \\ \angle BKH = \angle BAH \\ \angle AHE = \angle AOE \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AH \perp HB \\ HE = HE \\ AK = BK \\ BH = BA \\ AE = OE \end{cases}$ Vậy tứ giác $AHEK$ là tứ giác cân. 2. Ta có: - $\angle AHE = \angle AOE$ (cùng nằm trên đường tròn $(O)$) - $\angle AIE = 90^\circ$ (đường cao của tam giác $AIO$) - $\angle AKE = \angle BKH$ (cùng chắn cung $BK$) - $\angle BKH = \angle BAH$ (cùng nằm trên đường tròn $(O)$) Do đó, ta có: $\begin{cases} \angle AHE = \angle AOE \\ \angle AIE = 90^\circ \\ \angle AKE = \angle BKH \\ \angle BKH = \angle BAH \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AH \parallel IE \\ AE = OE \end{cases}$ Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $BKE$ và đường thẳng $ACI$, ta có: $\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BC}{CE} \cdot \frac{IE}{IA} = 1$ Vì $AK = BK$ nên: $\frac{BC}{CE} \cdot \frac{IE}{IA} = 1 \Rightarrow BC = CE \cdot \frac{IA}{IE}$ Như vậy, ta có $BC \parallel IE$. Do đó, $B,C,I$ thẳng hàng.