cho tam giác abc có góc a là 80 độ góc B là 60 độ. a,so sánh các cạnh của tam giác abc . b,trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA tia phân giác của góc abc cắt ac tại e chứng minh tam giác ABE=tam giác DBE c, chứng minh BEAD d, gọi H là giao điểm của BE và AD Chứng minh H là trung điểm của AD

Question

cho tam giác abc có góc a là 80 độ góc B là 60 độ. a,so sánh các cạnh của tam giác abc . b,trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA tia phân giác của góc abc cắt ac tại e chứng minh tam giác ABE=tam giác DBE c, chứng minh BE>AD d, gọi H là giao điểm của BE và AD Chứng minh H là trung điểm của AD

Accepted Answer

a) Vì tổng ba góc của tam giác bằng 180 độ nên góc C là 40 độ. Ta có thể sử dụng định lý sin để tính độ dài các cạnh như sau:

$$\frac{AB}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle C} \Rightarrow AB = \frac{BC \sin \angle B}{\sin \angle C} = \frac{BC \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$$

$$\frac{AC}{\sin \angle A} = \frac{BC}{\sin \angle C} \Rightarrow AC = \frac{BC \sin \angle A}{\sin \angle C} = \frac{BC \sin 80^\circ}{\sin 40^\circ}$$

Vì $\sin 80^\circ > \sin 60^\circ$ nên ta có $AC > AB$.

b) Ta có $BD=BA$ và $BE$ là tia phân giác của góc $\angle ABC$, do đó ta có $\angle ABE = \angle DBE$. Hơn nữa, ta cũng có $\angle AEB = \angle DEB$ vì chúng đều bằng một nửa góc $\angle ABD$. Vậy hai tam giác $ABE$ và $DBE$ đồng dạng theo góc-góc (AA).

c) Ta có $BE = \frac{BC}{2}$ (vì $BE$ là tia phân giác của góc $\angle ABC$) và $AD = BD = BA$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABD$ ta có:

$$\cos \angle ABD = \frac{AD^2 + BD^2 - AB^2}{2 \cdot AD \cdot BD} = \frac{2AD^2 - AB^2}{2 \cdot AD^2}$$

Vì $\angle ABD = 40^\circ$ nên $\cos \angle ABD > 0$, từ đó suy ra $2AD^2 > AB^2$. Kết hợp với $BE = \frac{BC}{2}$ ta có:

$$BE^2 - AD^2 = \frac{BC^2}{4} - AD^2 = \frac{AB^2}{4} > 0$$

Do đó $BE > AD$.

d) Gọi $H'$ là trung điểm của $AD$. Ta cần chứng minh $H' = H$, tức là $H'$ nằm trên $BE$. Ta có $AH' = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BA$ và $BH' = BD - AH' = \frac{1}{2} BC - \frac{1}{2} BA = \frac{1}{2} (BC - BA) = \frac{1}{2} AC$. Do đó:

$$\frac{AH'}{BH'} = \frac{BA}{AC} = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ}$$

Áp dụng định lý sin trong tam giác $BHE$ ta có:

$$\frac{AH}{BH} = \frac{\sin \angle BEH}{\sin \angle BHE} = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ}$$

Vì $\sin 80^\circ > \sin 60^\circ$ nên ta có $\frac{AH}{BH} > \frac{AH'}{BH'}$, từ đó suy ra $H$ nằm giữa $B$ và $H'$ trên $BE$, tức là $H' = H$. Vậy $H$ là trung điểm của $AD$.

cho tam giác abc có góc a là 80 độ góc B là 60 độ. a,so sánh các cạnh của tam giác abc . b,trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA tia phân giác của góc abc cắt ac tại e chứng minh tam giác ABE=tam giác...