Cho a,b,c,d ∈ R và a² +b²+ c² +d² ≤1. Chứng minh rằng a³ +b³ +c³ +d³≤ 1

1. Phân tích điều kiệnTheo giả thiết, ta có:$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1$Vì $a^2, b^2, c^2, d^2$ đều là các số không âm, nên từ tổng trên ta suy ra được giới hạn của từng biến:$a^2 \leq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1 \Rightarrow |a| \leq 1$Tương tự: $|b| \leq 1, |c| \leq 1, |d| \leq 1$Như vậy, các số $a, b, c, d$ đều nằm trong đoạn $[-1, 1]$.2. Đánh giá từng số hạngVới mọi số thực $x$ thỏa mãn $|x| \leq 1$, ta xét biểu thức $x^3$ và $x^2$:Nếu $0 \leq x \leq 1$: Ta có $x^2 \geq 0$ và $x \leq 1$. Nhân cả hai vế của $x \leq 1$ với $x^2$, ta được $x^3 \leq x^2$.Nếu $-1 \leq x < 0$: Ta có $x^3 < 0$, trong khi đó $x^2 > 0$. Hiển nhiên $x^3 < x^2$.Vậy với mọi $x \in [-1, 1]$, ta luôn có bất đẳng thức:$x^3 \leq x^2$3. Chứng minh bất đẳng thức tổng quátÁp dụng đánh giá trên cho từng biến $a, b, c, d$:$a^3 \leq a^2< math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">b3≤b2< annotation encoding="LaTeX">b^3 \leq b^2c^3 \leq c^2$d^3 \leq d^2$Cộng vế với vế của bốn bất đẳng thức trên, ta được:$a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \leq a^2 + b^2 + c^2 + d^2$Kết hợp với giả thiết $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1$, ta có:$a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \leq 1$Đây chính là điều phải chứng minh.4. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?Dấu đẳng thức $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 1$ xảy ra khi và chỉ khi:$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$x^3 = x^2$ với mọi $x \in \{a, b, c, d\}$, tức là mỗi biến chỉ có thể nhận giá trị $0$ hoặc $1$.Vậy dấu bằng xảy ra khi một trong bốn số bằng $1$ và ba số còn lại bằng $0$ (ví dụ: $a=1, b=c=d=0$ và các hoán vị).