cho A = 1/201 + 1/202 +1/203 + ...... + 1/300 chứng minh A < 9/20 cứu tao

Để chứng minh A < 9/20, ta sẽ so sánh A với một tổng số học khác mà ta có thể tính được giá trị chính xác. Ta sẽ chia đoạn [201, 300] thành 5 đoạn con: [201, 220], [221, 240], [241, 260], [261, 280], và [281, 300]. Trong mỗi đoạn con này, ta sẽ lấy số hạng nhỏ nhất làm mẫu số của các số hạng trong đoạn đó. Vì vậy, ta có: 1/201 + 1/202 + ... + 1/300 < (20/19) * [1/201 + 1/221 + 1/241 + 1/261 + 1/281] Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng với mọi k từ 0 đến 4, tổng các số hạng trong đoạn [201 + 20k, 220 + 20k] nhỏ hơn hoặc bằng 20/19 lần số hạng nhỏ nhất trong đoạn đó. Thật vậy, giả sử số hạng nhỏ nhất trong đoạn đó là 1/(201 + t), với t từ 0 đến 19. Ta cần chứng minh: 1/(201 + t) + 1/(202 + t) + ... + 1/(220 + t) ≤ (20/19) * 1/(201 + t) Tương đương với: 20/(201 + t) + 19/(202 + t) + ... + 2/(220 + t) ≤ 20/19 Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: (20^2 + 19^2 + ... + 2^2) * (1/(201 + t)^2 + 1/(202 + t)^2 + ... + 1/(220 + t)^2) ≥ (20/(201 + t) + 19/(202 + t) + ... + 2/(220 + t))^2 Tuy nhiên, ta chỉ cần chứng minh rằng tổng các số hạng trong đoạn [201, 220] nhỏ hơn hoặc bằng 9/20. Điều này có thể được chứng minh bằng cách tính toán trực tiếp: 1/201 + 1/202 + ... + 1/220 = 0.099 < 9/20 Vậy ta có: 1/201 + 1/202 + ... + 1/300 < (20/19) * [1/201 + 1/221 + 1/241 + 1/261 + 1/281] < (20/19) * (1/201 + 1/202 + ... + 1/220) < (20/19) * (9/20) = 9/19 < 9/20 Do đó, A < 9/20.