tìm số tự nhiên x để b nguyên âm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Phần a: Tìm số tự nhiên x để B nguyên âm 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức \( B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \) có mẫu số là \( \sqrt{x} + 3 \). Để mẫu số khác 0, ta phải có: \[ \sqrt{x} + 3 \neq 0 \] Vì \( \sqrt{x} \geq 0 \) nên \( \sqrt{x} + 3 > 0 \) luôn đúng. Do đó, ĐKXĐ là \( x \geq 0 \). 2. Tìm số tự nhiên x để B nguyên âm: - Ta cần \( B \) là số nguyên âm, tức là \( B < 0 \). - Xét \( B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \): \[ \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} < 0 \] Điều này xảy ra khi tử số và mẫu số có dấu ngược nhau. Vì \( \sqrt{x} + 3 > 0 \) luôn đúng, nên \( \sqrt{x} - 3 < 0 \): \[ \sqrt{x} - 3 < 0 \implies \sqrt{x} < 3 \implies x < 9 \] Vì \( x \) là số tự nhiên, nên \( x \) có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 3. Kiểm tra các giá trị của x: - Với \( x = 0 \): \[ B = \frac{\sqrt{0} - 3}{\sqrt{0} + 3} = \frac{-3}{3} = -1 \quad (\text{nguyên âm}) \] - Với \( x = 1 \): \[ B = \frac{\sqrt{1} - 3}{\sqrt{1} + 3} = \frac{1 - 3}{1 + 3} = \frac{-2}{4} = -0.5 \quad (\text{không nguyên âm}) \] - Với \( x = 2 \): \[ B = \frac{\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 3} \approx \frac{1.414 - 3}{1.414 + 3} \approx \frac{-1.586}{4.414} \approx -0.36 \quad (\text{không nguyên âm}) \] - Với \( x = 3 \): \[ B = \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 3} \approx \frac{1.732 - 3}{1.732 + 3} \approx \frac{-1.268}{4.732} \approx -0.27 \quad (\text{không nguyên âm}) \] - Với \( x = 4 \): \[ B = \frac{\sqrt{4} - 3}{\sqrt{4} + 3} = \frac{2 - 3}{2 + 3} = \frac{-1}{5} = -0.2 \quad (\text{không nguyên âm}) \] - Với \( x = 5 \): \[ B = \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3} \approx \frac{2.236 - 3}{2.236 + 3} \approx \frac{-0.764}{5.236} \approx -0.146 \quad (\text{không nguyên âm}) \] - Với \( x = 6 \): \[ B = \frac{\sqrt{6} - 3}{\sqrt{6} + 3} \approx \frac{2.449 - 3}{2.449 + 3} \approx \frac{-0.551}{5.449} \approx -0.101 \quad (\text{không nguyên âm}) \] - Với \( x = 7 \): \[ B = \frac{\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3} \approx \frac{2.645 - 3}{2.645 + 3} \approx \frac{-0.355}{5.645} \approx -0.063 \quad (\text{không nguyên âm}) \] - Với \( x = 8 \): \[ B = \frac{\sqrt{8} - 3}{\sqrt{8} + 3} \approx \frac{2.828 - 3}{2.828 + 3} \approx \frac{-0.172}{5.828} \approx -0.029 \quad (\text{không nguyên âm}) \] Vậy, chỉ có \( x = 0 \) thỏa mãn điều kiện \( B \) nguyên âm. Phần b: Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \) 1. Biến đổi biểu thức \( B \): - Ta có: \[ B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \] - Nhân cả tử số và mẫu số với \( \sqrt{x} - 3 \): \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] - Rút gọn: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 3)^2}{x - 9} \] - Vì \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \), nên: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 3)^2}{x - 9} \] Vậy, ta đã chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \).