❗Không coppy, không trả lời sai

23. Cho đường tròn (O;R), một đường thẳng d không đi qua tâm O cắt (O) tại A và B. Trên đường thẳng d lấy điểm C sao cho C nằm trên tia đối tia AB. Kẻ đường kính EF của (O)vuông góc với AB tại D, F thuộc cung nhỏ AB của (O), CE cắt đường tròn (O)tại I. Các dây AB và FI cắt nhau tại K . Chứng minh:

a) Bốn điểm E, D, K, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Hai tam giác CIK và CDE đồng dạng với nhau.
c) CA.KB = BC.AK

Question

❗Không coppy, không trả lời sai

23. Cho đường tròn (O;R), một đường thẳng d không đi qua tâm O cắt (O) tại A và B. Trên đường thẳng d lấy điểm C sao cho C nằm trên tia đối tia AB. Kẻ đường kính EF của (O)vuông góc với AB tại D, F thuộc cung nhỏ AB của (O), CE cắt đường tròn (O)tại I. Các dây AB và FI cắt nhau tại K . Chứng minh:

a) Bốn điểm E, D, K, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Hai tam giác CIK và CDE đồng dạng với nhau.
 c) CA.KB = BC.AK

Accepted Answer

a) Ta có $\angle EDF = 90^\circ$ do $EF$ là đường kính của đường tròn $(O)$ và $EF \perp AB$. Khi đó, ta có $\angle EDB = \angle FDC = 90^\circ - \angle BAC$. Do đó, tức là tam giác $ABD$ và $FCD$ đồng dạng với nhau. Từ đó suy ra $\angle ABD = \angle FCD = \angle FID$ (do $AB \parallel FI$). Vậy $E, D, K, I$ đều nằm trên cùng một đường tròn.

b) Ta có $\angle CDE = \angle CFI$ (do $EF \parallel CD$), $\angle CED = \angle CIF$ (do cùng chắn $CE$ trên đường tròn $(O)$). Vậy hai tam giác $CDE$ và $CFI$ đồng dạng với nhau.

c) Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác $ABCK$ ta được:
$$AK \cdot BC + BK \cdot AC = AB \cdot KC$$
Do $AC = AK + KC$ và $BC = BK + KC$, ta có thể đưa về dạng:
$$AK \cdot BK + KC^2 = AB \cdot KC$$
Từ đây suy ra:
$$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{KC}$$
Nhân cả hai vế với $KC^2$ ta được:
$$AK \cdot BK = AB \cdot KC - KC^3 = AB \cdot KC - KC \cdot AC$$
Do $AB \cdot KC = AI \cdot CE$ (do $E, I, A, C$ cùng nằm trên đường tròn $(O)$) và $KC \cdot AC = KB \cdot BC$, ta có:
$$AK \cdot BK = AI \cdot CE - KB \cdot BC = AI \cdot (AC - CE) - KB \cdot (BC - AC)$$
$$= AI \cdot AK - KB \cdot BK$$
Từ đó suy ra $AI \cdot AK = KB \cdot BK$, hay $CA \cdot CK = CB \cdot CK$. Vậy $CA \cdot KB = CB \cdot AK$, tức là $CA \cdot KB = BC \cdot AK$.

❗Không coppy, không trả lời sai 23. Cho đường tròn (O;R), một đường thẳng d không đi qua tâm O cắt (O) tại A và B. Trên đường thẳng d lấy điểm C sao cho C nằm trên tia đối tia AB. Kẻ đường kính EF của...