Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:x²-2(m-1)x+m²-6=0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho: x1²+4x1+2x2-2mx1=-3

Để phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-6=0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$, ta cần có $\Delta = (m-2)^2 - 4(m^2-6) > 0$. Tức là: $ \begin{aligned} (m-2)^2 - 4(m^2-6) &> 0 \\ m^2 - 4m + 4 - 4m^2 + 24 &> 0 \\ -3m^2 - 4m + 28 &> 0 \\ 3m^2 + 4m - 28 &< 0 \\ (3m-7)(m+4) &< 0 \end{aligned} $ Vậy ta có $-\frac{4}{3} < m < \frac{7}{3}$. Tiếp theo, ta sẽ giải hệ phương trình: $ \begin{cases} x_1^2 + 4x_1 + 2x_2 - 2mx_1 = -3 \\ x_1 + x_2 = 2(m-1) \end{cases} $ Từ phương trình thứ hai, suy ra $x_2 = 2(m-1) - x_1$. Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: $ \begin{aligned} x_1^2 + 4x_1 + 4(m-1) - 2mx_1 &= -3 \\ x_1^2 + (4-2m)x_1 + 4m - 4 &= 0 \end{aligned} $ Do phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$, ta có thể viết lại nó dưới dạng: $(x-x_1)(x-x_2) = x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2$ So sánh với phương trình đã cho, ta có: $ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m-1) \\ x_1x_2 = m^2 - 6 \end{cases} $ Thay $x_2 = 2(m-1) - x_1$ vào phương trình thứ hai, ta được: $x_1(2(m-1)-x_1) = m^2 - 6$ Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm $x_1, x_2$ là $\Delta' = 4(m-1)^2 - 4(m^2-6) \geq 0$. Tức là: $ \begin{aligned} 4(m-1)^2 - 4(m^2-6) &\geq 0 \\ -3m^2 + 8m - 16 &\leq 0 \\ 3m^2 - 8m + 16 &\geq 0 \\ \frac{4}{3} \leq m \leq 4 \end{aligned} $ Vậy, để phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-6=0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ sao cho $x_1^2+4x_1+2x_2-2mx_1=-3$, thì $-\frac{4}{3} < m < \frac{7}{3}$ và $\frac{4}{3} \leq m \leq 4$. Tức là, giá trị của $m$ phải nằm trong khoảng $\frac{4}{3} \leq m < \frac{7}{3}$.