Để chứng minh rằng biểu thức chia hết cho 65, ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho 5 và chia hết cho 13.
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng biểu thức trên chia hết cho 5. Ta biểu diễn các số 25, 7, 4, 3 và 5 dưới dạng modulo 5 như sau:
Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:
Ta sẽ xét hai trường hợp:
- Nếu n là số chẵn, ta có và , do đó:
- Nếu n là số lẻ, ta có và , do đó:
Vậy biểu thức trên chia hết cho 5.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng biểu thức trên cũng chia hết cho 13. Ta biểu diễn các số 25, 7, 4, 3 và 5 dưới dạng modulo 13 như sau:
Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:
Ta sẽ xét hai trường hợp:
- Nếu n là số chẵn, ta có và , do đó:
Ta sẽ kiểm tra xem biểu thức có chia hết cho 13 không. Ta biểu diễn các số 4 và 7 dưới dạng modulo 13 như sau:
Do đó, ta có:
Ta sẽ xét hai trường hợp:
+ Nếu n là số chẵn, ta có , do đó:
Vì , nên:
+ Nếu n là số lẻ, ta có , do đó:
Vì , nên:
Tóm lại, ta có:
hoặc
Trong cả hai trường hợp, biểu thức trên đều chia hết cho 13.
Vậy, biểu thức chia hết cho cả 5 và 13, do đó nó chia hết cho 65.