Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p²+20 là số nguyên tố

Để p² + 20 là số nguyên tố, ta cần phải có p² + 20 > 1 và p² + 20 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn nó. Điều kiện đầu tiên cho ta p > 0. Nếu p là số chẵn thì p² + 20 sẽ là số chẵn và không phải là số nguyên tố. Do đó, p phải là số lẻ. Ta có thể kiểm tra các giá trị của p để tìm các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện này. Tuy nhiên, để giảm thiểu số lượng các giá trị cần kiểm tra, ta có thể sử dụng một số kỹ thuật toán học. Đầu tiên, ta có thể quan sát rằng p² + 20 chia hết cho 3 khi p chia hết cho 3. Vì vậy, p không thể là số nguyên tố khi p chia hết cho 3. Tiếp theo, ta có thể áp dụng định lý Wilson để loại bỏ một số giá trị của p. Định lý Wilson nói rằng (p-1)! ≡ -1 (mod p) nếu và chỉ nếu p là số nguyên tố. Áp dụng định lý này, ta có thể tính toán (p-1)! cho một số giá trị của p và kiểm tra xem kết quả có phải là -1 (mod p) hay không. Sau khi áp dụng các kỹ thuật này, ta tìm được rằng có hai số nguyên tố thỏa mãn điều kiện là p = 3 và p = 7.