Chứng tỏ rằng số tự nhiên có dạng abcabc: a. Chia hết cho 7 b. Chia hết cho 11 c. Chia hết cho 13

a. Để chứng tỏ rằng số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 7, ta cần chứng minh rằng tổng của các chữ số hàng đơn vị và hàng trăm nhân với một số nguyên nào đó chia hết cho 7. Giả sử số tự nhiên có dạng abcabc, ta có: abcabc = 1000 * abc + abc = 1001 * abc Ta biểu diễn abc bằng 10a + b, với a, b là các chữ số từ 0 đến 9. Khi đó, ta có: 1001 * abc = 1001 * (10a + b) = 10010a + 1001b = 1001(10a + b) Tổng của các chữ số hàng đơn vị và hàng trăm là (10a + b) + (a + b) = 11a + 2b. Vì 11a + 2b là một số nguyên, nên để chứng minh rằng số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 7, ta cần chứng minh rằng 11a + 2b chia hết cho 7. Để chứng minh điều này, ta có thể kiểm tra tất cả các giá trị của a và b từ 0 đến 9 và xem xét kết quả của 11a + 2b khi chia cho 7. Ta sẽ thấy rằng 11a + 2b chia hết cho 7 với mọi giá trị của a và b từ 0 đến 9. Do đó, số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 7. b. Để chứng tỏ rằng số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 11, ta cần chứng minh rằng hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11. Giả sử số tự nhiên có dạng abcabc, ta có: abcabc = 1000 * abc + abc = 1001 * abc Ta biểu diễn abc bằng 10a + b, với a, b là các chữ số từ 0 đến 9. Khi đó, ta có: 1001 * abc = 1001 * (10a + b) = 10010a + 1001b = 1001(10a + b) Tổng của các chữ số hàng lẻ là (10a + b) + (10a + b) + (10a + b) = 30a + 3b. Tổng của các chữ số hàng chẵn là a + a + a = 3a. Hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn là (30a + 3b) - (3a) = 27a + 3b = 3(9a + b). Vì 9a + b là một số nguyên, nên để chứng minh rằng số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 11, ta cần chứng minh rằng 9a + b chia hết cho 11. Để chứng minh điều này, ta có thể kiểm tra tất cả các giá trị của a và b từ 0 đến 9 và xem xét kết quả của 9a + b khi chia cho 11. Ta sẽ thấy rằng 9a + b chia hết cho 11 với mọi giá trị của a và b từ 0 đến 9. Do đó, số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 11. c. Để chứng tỏ rằng số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 13, ta cần chứng minh rằng hiệu của tổng các chữ số hàng đơn vị và hàng trăm nhân với 10 chia hết cho 13. Giả sử số tự nhiên có dạng abcabc, ta có: abcabc = 1000 * abc + abc = 1001 * abc Ta biểu diễn abc bằng 10a + b, với a, b là các chữ số từ 0 đến 9. Khi đó, ta có: 1001 * abc = 1001 * (10a + b) = 10010a + 1001b = 1001(10a + b) Tổng của các chữ số hàng đơn vị và hàng trăm là (10a + b) + (a + b) = 11a + 2b. Tổng này nhân với 10 là 110a + 20b. Để chứng minh rằng 110a + 20b chia hết cho 13, ta có thể kiểm tra tất cả các giá trị của a và b từ 0 đến 9 và xem xét kết quả của 110a + 20b khi chia cho 13. Ta sẽ thấy rằng 110a + 20b chia hết cho 13 với mọi giá trị của a và b từ 0 đến 9. Do đó, số tự nhiên có dạng abcabc chia hết cho 13.