Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB .Vẽ các tiếp tuyến Ax, By .Trên nửa đường tròn lấy điểm M .Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại D và C .BM cắt Ax ở E .Chứng minh EO vuông góc với AC

Để chứng minh EO vuông góc với AC, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường tiếp tuyến và đường kính trong một đường tròn. Gọi I là giao điểm của Ax và By. Ta có: - Vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm M, nên góc MIA là góc vuông. - Tương tự, góc MIB cũng là góc vuông. Do đó, tứ giác AMIB là tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Theo định lý hình học về tứ giác nội tiếp, ta có: - Góc ABD = góc AIM (cùng nằm ở cùng một cung AM) - Góc BAC = góc IBM (cùng nằm ở cùng một cung BM) Vậy, tứ giác ABD và IBM là tứ giác đồng dạng. Từ đó, ta có: - Góc EAB = góc EBM (do tứ giác ABD và IBM đồng dạng) - Góc EBA = góc EAM (do tứ giác ABD và IBM đồng dạng) Vậy, tứ giác EAB và EMA là tứ giác đồng dạng. Do đó, ta có: - Góc EOA = góc EMA (do tứ giác EAB và EMA đồng dạng) - Góc EOC = góc EAM (do tứ giác EAB và EMA đồng dạng) Vậy, tứ giác EOA và EOC là tứ giác đồng dạng. Từ đó, ta có: - Góc EOA + góc EOC = góc EMA + góc EAM = 180° (do tứ giác EAB và EMA là tứ giác đồng dạng) Vậy, tứ giác EOA và EOC là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Do đó, góc EOAC là góc ở tâm của đường tròn, nên EO vuông góc với AC. Vậy, ta đã chứng minh được EO vuông góc với AC.