Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 6(2,0 điểm). Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB,,AC đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC,a) Chứng minh bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc một đường tròn và H là trung điểm BC,b). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt AB tại E. Từ A kẻ AD vuông góc với tia OE $(D\in tia~OE)$ .Chứng,minh: $OC^2=OH.OA$ và $FO=EA\rightarrow$ E là tđ' OA.,c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OD và AH. Chứng minh: $CN\bot MN$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 6(2,0 điểm). Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB,,AC đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC,a) Chứng minh bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc một đường tròn và H là trung điểm BC,b). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt AB tại E. Từ A kẻ AD vuông góc với tia OE $(D\in tia~OE)$ .Chứng,minh: $OC^2=OH.OA$ và $FO=EA\rightarrow$ E là tđ&#x27; OA.,c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OD và AH. Chứng minh: $CN\bot MN$

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc một đường tròn và H là trung điểm BC.

- Chứng minh bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc một đường tròn:

Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
  $$
  \angle OBA = \angle OCA = 90^\circ
  $$
  Do đó, tứ giác OBAC có hai góc vuông tại B và C. Theo định lý về tứ giác nội tiếp, nếu một tứ giác có hai góc đối diện cùng bằng $90^\circ$, thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. Vậy bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc một đường tròn.

- Chứng minh H là trung điểm BC:

Do AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm ngoài đường tròn), tam giác ABC cân tại A. H là giao điểm của OA và BC, mà OA là đường trung trực của BC (vì OB = OC và OA là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC), nên H là trung điểm của BC.

b) Chứng minh: $OC^2 = OH \cdot OA$ và $FO = EA \rightarrow$ E là trung điểm của OA.

- Chứng minh $OC^2 = OH \cdot OA$:

Theo tính chất của đường tròn, ta có:
  $$
  OB = OC
  $$
  Do đó, tam giác OBC cân tại O. H là trung điểm của BC, nên OH là đường trung bình của tam giác OBC. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
  $$
  OH = \frac{OB + OC}{2} = OC
  $$
  Do đó, $OC^2 = OH \cdot OA$ là một hệ quả của định lý đường trung bình.

- Chứng minh $FO = EA \rightarrow$ E là trung điểm của OA:

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt AB tại E. Theo giả thiết, từ A kẻ AD vuông góc với tia OE. Do đó, tam giác AOE vuông tại E. Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có:
  $$
  FO = \frac{OA}{2}
  $$
  Do đó, E là trung điểm của OA.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OD và AH. Chứng minh: $CN \bot MN$.

- Chứng minh $CN \bot MN$:

Gọi M là trung điểm của OD và N là trung điểm của AH. Ta có:
  - $OM = MD$ và $AN = NH$.

Xét tam giác OAD, M là trung điểm của OD và N là trung điểm của AH. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, MN song song với AD và $MN = \frac{1}{2}AD$.

Do AD vuông góc với OE (theo giả thiết), mà OE song song với CN (vì E là trung điểm của OA và OC là bán kính), nên MN vuông góc với CN.

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.