Giúp với, gấp lắm!!!!!!(Nếu đươc thì vẽ hình luôn ạ)

a) Ta có: - Tam giác ABC cân tại A nên AO là đường cao của tam giác và cắt BC tại trung điểm O. - Đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại D, E nên OD và OE là đường cao của tam giác ADO và AEO. - M là điểm bất kì trên cung nhỏ DE, tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB, AC lần lượt ở P và Q. - Gọi H là giao điểm của AD và PQ. Ta có: - Vì tam giác ABC cân tại A nên AO là đường cao của tam giác và cắt BC tại trung điểm O. Do đó, AO vuông góc với BC. - Vì đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại D, E nên OD và OE là đường cao của tam giác ADO và AEO. Do đó, OD và OE vuông góc với AD. - Vì M là điểm bất kì trên cung nhỏ DE, tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB, AC lần lượt ở P và Q. Do đó, MP và MQ là tiếp tuyến của đường tròn (O). - Vì H là giao điểm của AD và PQ, nên AH là đường cao của tam giác APQ và cắt PQ tại trung điểm H. Từ các quan sát trên, ta có: - Tam giác ABC cân tại A nên AO là đường cao của tam giác và cắt BC tại trung điểm O. - Đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại D, E nên OD và OE là đường cao của tam giác ADO và AEO. - M là điểm bất kì trên cung nhỏ DE, tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB, AC lần lượt ở P và Q. - Gọi H là giao điểm của AD và PQ. Áp dụng định lí Pappus cho tứ giác ADEHMP, ta có: - Đường thẳng AD cắt đường thẳng PQ tại H. - Đường thẳng AE cắt đường thẳng MP tại D. - Đường thẳng EH cắt đường thẳng MQ tại A. Theo định lí Pappus, ta có: AH // DE và AH = 2DE. Vậy BP.CQ = (BH + HP)(CH - HQ) = (BH + 2HP)(CH - 2HQ) = BH.CH - 2BH.HQ + 2CH.HP - 4HP.HQ. Vì BH.CH không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung nhỏ DE, nên để BP.CQ không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung nhỏ DE, ta cần chứng minh rằng - 2BH.HQ + 2CH.HP - 4HP.HQ = 0. b) Để tìm vị trí của điểm M trên cung DE để diện tích tam giác APQ lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho diện tích tam giác APQ đạt giá trị lớn nhất. Áp dụng định lí Pappus cho tứ giác ADEHMP, ta có: - Đường thẳng AD cắt đường thẳng PQ tại H. - Đường thẳng AE cắt đường thẳng MP tại D. - Đường thẳng EH cắt đường thẳng MQ tại A. Theo định lí Pappus, ta có: AH // DE và AH = 2DE. Vậy diện tích tam giác APQ là diện tích tam giác APH cộng với diện tích tam giác HQA. Diện tích tam giác APH = 1/2 * AP * AH = 1/2 * AP * 2DE = AP * DE. Diện tích tam giác HQA = 1/2 * HQ * HA = 1/2 * HQ * 2DE = HQ * DE. Vậy diện tích tam giác APQ là diện tích tam giác APH cộng với diện tích tam giác HQA là AP * DE + HQ * DE = DE(AP + HQ). Để diện tích tam giác APQ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho AP + HQ đạt giá trị lớn nhất. Vì AP + HQ = (AD - DP) + (AE + EQ) = AD + AE - DP + EQ = DE - DP + EQ. Để DE - DP + EQ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho DP + EQ đạt giá trị nhỏ nhất. Vì DP + EQ = DM + EM = 2DM, nên để DP + EQ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho DM đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy để diện tích tam giác APQ lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M trên cung DE sao cho DM đạt giá trị nhỏ nhất.