a) Ta có:
- Tam giác ABC cân tại A nên AO là đường cao của tam giác và cắt BC tại trung điểm O.
- Đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại D, E nên OD và OE là đường cao của tam giác ADO và AEO.
- M là điểm bất kì trên cung nhỏ DE, tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB, AC lần lượt ở P và Q.
- Gọi H là giao điểm của AD và PQ.
Ta có:
- Vì tam giác ABC cân tại A nên AO là đường cao của tam giác và cắt BC tại trung điểm O. Do đó, AO vuông góc với BC.
- Vì đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại D, E nên OD và OE là đường cao của tam giác ADO và AEO. Do đó, OD và OE vuông góc với AD.
- Vì M là điểm bất kì trên cung nhỏ DE, tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB, AC lần lượt ở P và Q. Do đó, MP và MQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Vì H là giao điểm của AD và PQ, nên AH là đường cao của tam giác APQ và cắt PQ tại trung điểm H.
Từ các quan sát trên, ta có:
- Tam giác ABC cân tại A nên AO là đường cao của tam giác và cắt BC tại trung điểm O.
- Đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại D, E nên OD và OE là đường cao của tam giác ADO và AEO.
- M là điểm bất kì trên cung nhỏ DE, tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB, AC lần lượt ở P và Q.
- Gọi H là giao điểm của AD và PQ.
Áp dụng định lí Pappus cho tứ giác ADEHMP, ta có:
- Đường thẳng AD cắt đường thẳng PQ tại H.
- Đường thẳng AE cắt đường thẳng MP tại D.
- Đường thẳng EH cắt đường thẳng MQ tại A.
Theo định lí Pappus, ta có:
AH // DE và AH = 2DE.
Vậy BP.CQ = (BH + HP)(CH - HQ) = (BH + 2HP)(CH - 2HQ) = BH.CH - 2BH.HQ + 2CH.HP - 4HP.HQ.
Vì BH.CH không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung nhỏ DE, nên để BP.CQ không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung nhỏ DE, ta cần chứng minh rằng - 2BH.HQ + 2CH.HP - 4HP.HQ = 0.
b) Để tìm vị trí của điểm M trên cung DE để diện tích tam giác APQ lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho diện tích tam giác APQ đạt giá trị lớn nhất.
Áp dụng định lí Pappus cho tứ giác ADEHMP, ta có:
- Đường thẳng AD cắt đường thẳng PQ tại H.
- Đường thẳng AE cắt đường thẳng MP tại D.
- Đường thẳng EH cắt đường thẳng MQ tại A.
Theo định lí Pappus, ta có:
AH // DE và AH = 2DE.
Vậy diện tích tam giác APQ là diện tích tam giác APH cộng với diện tích tam giác HQA.
Diện tích tam giác APH = 1/2 * AP * AH = 1/2 * AP * 2DE = AP * DE.
Diện tích tam giác HQA = 1/2 * HQ * HA = 1/2 * HQ * 2DE = HQ * DE.
Vậy diện tích tam giác APQ là diện tích tam giác APH cộng với diện tích tam giác HQA là AP * DE + HQ * DE = DE(AP + HQ).
Để diện tích tam giác APQ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho AP + HQ đạt giá trị lớn nhất.
Vì AP + HQ = (AD - DP) + (AE + EQ) = AD + AE - DP + EQ = DE - DP + EQ.
Để DE - DP + EQ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho DP + EQ đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì DP + EQ = DM + EM = 2DM, nên để DP + EQ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho DM đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy để diện tích tam giác APQ lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M trên cung DE sao cho DM đạt giá trị nhỏ nhất.