Tìm hai chữ số tận cùng của p=73^2014*37^2015

Để tìm hai chữ số cuối cùng của một số, chúng ta chỉ quan tâm đến phần dư của số đó khi chia cho 100. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính phần dư của p khi chia cho 100. Để tính phần dư của p khi chia cho 100, chúng ta chỉ cần tính phần dư của 73^2014 khi chia cho 100 và phần dư của 37^2015 khi chia cho 100, sau đó nhân hai phần dư này với nhau và lấy phần dư của kết quả khi chia cho 100. Để tính phần dư của 73^2014 khi chia cho 100, chúng ta sẽ xem xét các mẫu phần dư của các lũy thừa của 73 khi chia cho 100: 73^1 ≡ 73 (mod 100) 73^2 ≡ 29 (mod 100) 73^3 ≡ 17 (mod 100) 73^4 ≡ 21 (mod 100) 73^5 ≡ 13 (mod 100) ... Chúng ta có thể thấy rằng mẫu phần dư của các lũy thừa của 73 lặp lại sau mỗi 20 lũy thừa. Vì vậy, để tính phần dư của 73^2014 khi chia cho 100, chúng ta chỉ cần tính phần dư của 2014 khi chia cho 20 và sử dụng mẫu phần dư tương ứng. 2014 ≡ 14 (mod 20) Vì vậy, phần dư của 73^2014 khi chia cho 100 là mẫu phần dư thứ 14 trong chuỗi lặp lại của các mẫu phần dư của lũy thừa của 73: 73^2014 ≡ 73^14 ≡ 21 (mod 100) Tương tự, để tính phần dư của 37^2015 khi chia cho 100, chúng ta sẽ xem xét các mẫu phần dư của các lũy thừa của 37 khi chia cho 100: 37^1 ≡ 37 (mod 100) 37^2 ≡ 69 (mod 100) 37^3 ≡ 53 (mod 100) 37^4 ≡ 61 (mod 100) 37^5 ≡ 57 (mod 100) ... Chúng ta có thể thấy rằng mẫu phần dư của các lũy thừa của 37 lặp lại sau mỗi 4 lũy thừa. Vì vậy, để tính phần dư của 37^2015 khi chia cho 100, chúng ta chỉ cần tính phần dư của 2015 khi chia cho 4 và sử dụng mẫu phần dư tương ứng. 2015 ≡ 3 (mod 4) Vì vậy, phần dư của 37^2015 khi chia cho 100 là mẫu phần dư thứ 3 trong chuỗi lặp lại của các mẫu phần dư của lũy thừa của 37: 37^2015 ≡ 37^3 ≡ 53 (mod 100) Cuối cùng, chúng ta nhân hai phần dư này với nhau và lấy phần dư của kết quả khi chia cho 100: 21 * 53 ≡ 1113 ≡ 13 (mod 100) Vậy hai chữ số cuối cùng của p=73^2014*37^2015 là 13.