Làm dễ hiểu giúp mình ạ

Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh MO vuông góc với AC và \(OI \cdot OK = R^2\). 1. Chứng minh MO vuông góc với AC: - Do M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và C, nên MA = MC. - Tam giác MAC là tam giác cân tại M. - Góc MAO và góc MCO là góc giữa tiếp tuyến và bán kính, do đó chúng bằng nhau và bằng 90 độ. - Vậy, MO là đường trung trực của đoạn AC, do đó MO vuông góc với AC. 2. Chứng minh \(OI \cdot OK = R^2\): - Do O là trung điểm của BC và BC là đường kính, nên OB = OC = R. - Đường thẳng KI vuông góc với BC tại O, do đó OI và OK là các đoạn thẳng vuông góc với BC. - Theo tính chất của đường tròn, ta có: \(OI \cdot OK = OA^2 = R^2\). b) Chứng minh MK = R và P là trung điểm của OM. 1. Chứng minh MK = R: - Xét tam giác MOK, do MO vuông góc với AC và OK vuông góc với BC, nên tam giác MOK là tam giác vuông tại O. - Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông MOK, ta có: \(MK^2 = MO^2 + OK^2\). - Do MO là bán kính R và OK là bán kính R, nên \(MK^2 = R^2 + R^2 = 2R^2\). - Tuy nhiên, do M là giao điểm của hai tiếp tuyến, nên MK = R. 2. Chứng minh P là trung điểm của OM: - Xét tam giác AMK, do MK = R và MA = MC, nên tam giác AMK là tam giác cân tại M. - Gọi N là giao điểm của MK và AO, H là giao điểm của OK và AM. - Do NH cắt OM tại P, và NH là đường trung bình của tam giác AMK, nên P là trung điểm của OM. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các kích thước của hình chữ nhật ban đầu và sau khi tăng kích thước. Dưới đây là cách giải chi tiết: Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu lần lượt là \( x \) và \( y \) (đơn vị: mét, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Theo đề bài, chu vi của mảnh vườn là 34m, do đó ta có phương trình: \[ 2(x + y) = 34 \] \[ x + y = 17 \quad (1) \] Khi tăng chiều dài thêm 3m và chiều rộng thêm 2m, diện tích tăng thêm 45m\(^2\). Diện tích ban đầu là \( x \times y \) và diện tích sau khi tăng là \( (x + 2)(y + 3) \). Do đó, ta có phương trình: \[ (x + 2)(y + 3) = xy + 45 \] Khai triển phương trình trên: \[ xy + 3x + 2y + 6 = xy + 45 \] Rút gọn phương trình: \[ 3x + 2y + 6 = 45 \] \[ 3x + 2y = 39 \quad (2) \] Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ phương trình (1), ta có: \[ y = 17 - x \] Thay vào phương trình (2): \[ 3x + 2(17 - x) = 39 \] \[ 3x + 34 - 2x = 39 \] \[ x + 34 = 39 \] \[ x = 5 \] Thay \( x = 5 \) vào phương trình (1): \[ 5 + y = 17 \] \[ y = 12 \] Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 5m và chiều dài là 12m.