Tứ giác ABCD không có hai góc nào bằng nhau. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất một góc nhọn, một góc tù.

Để chứng minh rằng tứ giác ABCD có ít nhất một góc nhọn và một góc tù, ta sử dụng phản chứng. Giả sử rằng tứ giác ABCD không có góc nhọn nào. Điều này có nghĩa là tất cả các góc trong tứ giác đều là góc tù hoặc góc vuông. Nếu tất cả các góc trong tứ giác đều là góc tù, tứ giác ABCD sẽ là một tứ giác lồi. Tuy nhiên, theo giả thiết, tứ giác ABCD không có hai góc nào bằng nhau. Theo định lý, tứ giác lồi có ít nhất hai góc bằng nhau. Đây là một mâu thuẫn, vì vậy giả thiết ban đầu là sai. Vậy, tứ giác ABCD phải có ít nhất một góc nhọn. Tương tự, nếu tất cả các góc trong tứ giác đều là góc vuông, tứ giác ABCD sẽ là một tứ giác chữ nhật hoặc hình vuông. Tuy nhiên, theo giả thiết, tứ giác ABCD không có hai góc nào bằng nhau. Điều này đồng nghĩa với việc tứ giác ABCD không thể là một tứ giác chữ nhật hoặc hình vuông. Vì vậy, giả thiết ban đầu là sai. Vậy, tứ giác ABCD phải có ít nhất một góc tù. Do đó, ta đã chứng minh rằng tứ giác ABCD có ít nhất một góc nhọn và một góc tù.