« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $8$
$...$ tìm $x\in\mathbb{R}$ $M=\frac{2\sqrt x}{x-\sqrt x+1}$ nguyên

Question

Huycindy · Accepted Answer

$M = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$ $(x \geq 0)$
Vì $x - \sqrt{x} + 1 = \left(\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}ight)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ $\forall x \geq 0$ và $2\sqrt{x} \geq 0$ $\forall x \geq 0$ nên $M \geq 0$.
Mặt khác:
$2 - M = 2 - \dfrac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$
$2 - M = \dfrac{2(x - \sqrt{x} + 1) - 2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$
$2 - M = \dfrac{2x - 4\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x} + 1}$
$2 - M = \dfrac{2(\sqrt{x} - 1)^2}{x - \sqrt{x} + 1}$
Vì $2(\sqrt{x} - 1)^2 \geq 0$ $\forall x \geq 0$ và $x - \sqrt{x} + 1 > 0$ $\forall x \geq 0$ nên $2 - M \geq 0$ $\forall x \geq 0$.
$M \leq 2$
Do đó $0 \leq M \leq 2$.
Vì $M$ nguyên nên $M \in \{0; 1; 2\}$.
Trường hợp $1:$
$M = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = 0$
$2\sqrt{x} = 0$
$x = 0$ (thỏa mãn)
Trường hợp $2:$
$M = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = 1$
$2\sqrt{x} = x - \sqrt{x} + 1$
$x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$
Đặt $t = \sqrt{x}$ $(t > 0)$.
Phương trình trở thành:
$t^2 - 3t + 1 = 0$
$\Delta = (-3)^2 - 4 . 1 . 1 = 5 > 0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$\left[\begin{aligned} t &= \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \ t &= \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \end{aligned}ight.$ (thỏa mãn)
Với $t = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$:
$\sqrt{x} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$x = \left(\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}ight)^2$
$x = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn)
Với $t = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$ :
$\sqrt{x} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$x = \left(\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}ight)^2$
$x = \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn)
Trường hợp $3$:
$M = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = 2$
$2\sqrt{x} = 2(x - \sqrt{x} + 1)$
$x - 2\sqrt{x} + 1 = 0$
$(\sqrt{x} - 1)^2 = 0$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$ (thỏa mãn)
Vậy $x \in \left\{0; 1; \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}; \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{2}ight\}$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị của $ x \in \mathbb{R} $ sao cho $ M = \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} $ là một số nguyên, ta sẽ phân tích biểu thức này.

Đặt $ \sqrt{x} = t $, khi đó $ x = t^2 $. Thay vào biểu thức, ta có:

$$
M = \frac{2t}{t^2 - t + 1}
$$

Bây giờ, chúng ta cần tìm điều kiện để $ M $ là một số nguyên. Điều này có thể xảy ra khi mẫu số không bằng 0, tức là:

$$
t^2 - t + 1 \neq 0
$$

Mẫu số $ t^2 - t + 1 $ luôn dương với mọi $ t $ thực vì tính chất của đa thức bậc 2 (điểm cực tiểu nằm ở $ t = \frac{1}{2} $, giá trị tại điểm này là $ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 $).

Giờ chúng ta sẽ giải bất phương trình:

$$
M = \frac{2t}{t^2 - t + 1} = k \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

Ta nhân hai vế với $ t^2 - t + 1 $:

$$
2t = k(t^2 - t + 1)
$$

Sắp xếp lại ta có:

$$
kt^2 - (k + 2)t + k = 0
$$

Để phương trình bậc 2 này có nghiệm thực, chúng ta cần điều kiện:

$$
\Delta = (k + 2)^2 - 4k^2 \geq 0
$$

Tính Δ:

$$
\Delta = k^2 + 4k + 4 - 4k^2 = -3k^2 + 4k + 4
$$

Giải bất phương trình:

$$
-3k^2 + 4k + 4 \geq 0
$$

Tìm nghiệm của phương trình $ -3k^2 + 4k + 4 = 0 $ bằng công thức nghiệm:

$$
k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{-6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{-6} = \frac{-4 \pm 8}{-6}
$$

Hai nghiệm:

$$
k_1 = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}, \quad k_2 = \frac{-12}{-6} = 2
$$

Phương trình bậc 2 có bậc âm nên các giá trị của $ k $ nằm trong khoảng $ -\frac{2}{3} \leq k \leq 2 $. Xét các giá trị nguyên trong khoảng này, ta có $ k = -2, -1, 0, 1, 2 $.

Bây giờ ta sẽ thay từng giá trị của $ k $ vào phương trình bậc 2 $ kt^2 - (k + 2)t + k = 0 $ để tìm giá trị của $ t $ và từ đó tìm $ x = t^2 $.

1. **Với $ k = -2 $**:
   $$
   -2t^2 + 0t - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1
   $$

2. **Với $ k = -1 $**:
   $$
   -t^2 + t - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - t + 1 = 0 \quad (không có nghiệm)
   $$

3. **Với $ k = 0 $**:
   $$
   0 = 0 \quad (không có thông tin thêm)
   $$

4. **Với $ k = 1 $**:
   $$
   t^2 - 3t + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
   $$

5. **Với $ k = 2 $**:
   $$
   2t^2 - 4t + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 2t + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1
   $$

Từ các giá trị trên, chúng ta có các giá trị của $ x $:

- $ x = 1 $ cho $ k = -2 $ và $ k = 2 $
- $ x = \left(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^2 $ cho $ k = 1 $

Kết luận, các giá trị của $ x $ sao cho $ M $ là số nguyên bao gồm:

- $ x = 1 $
- Các giá trị khác từ nghiệm phương trình bậc 2 với $ k = 1 $.

Như vậy, đáp án cuối cùng là $ x = 1 $ và $ x = \left(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^2 $.

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Điều kiện xác định: $x \ge 0$.

Xét $x = 0 \Rightarrow M = 0 \in \mathbb{Z}$ (Thỏa mãn).

Xét $x > 0$:

$M = \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = \frac{2}{\sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Vì $x > 0 \Rightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \ge 2$ (Bất đẳng thức Cosi).

$\Rightarrow \sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \ge 1$

$\Rightarrow 0 < M \le \frac{2}{1} = 2$

Vì $M \in \mathbb{Z} \Rightarrow M \in \{1; 2\}$.

Trường hợp 1:

$M = 1 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = 1$

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} + 1 = 2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\Leftrightarrow x = \frac{14 \pm 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$ (Thỏa mãn).

Trường hợp 2:

$M = 2 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = 2$

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = 1$

$\Leftrightarrow x = 1$ (Thỏa mãn).

Vậy $x \in \{0; 1; \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}; \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\}$.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $8$ $...$