Rút gọn$\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}$

Để rút gọn biểu thức này, ta nhân tử và mẫu của phân số với $\sqrt{10}-\sqrt{2}$: $\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} = \frac{(5+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{(\sqrt{10}+\sqrt{2})(\sqrt{10}-\sqrt{2})}$ Tiếp theo, ta sử dụng công thức khai triển nhân hai nhị thức đặc biệt: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ Áp dụng công thức này, ta có: $(5+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{2}) = 5\sqrt{10} - 5\sqrt{2} + \sqrt{5}\sqrt{10} - \sqrt{5}\sqrt{2}$ $= 5\sqrt{10} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{10}$ $= 4\sqrt{10} - 5\sqrt{2}$ Tương tự, ta có: $(\sqrt{10}+\sqrt{2})(\sqrt{10}-\sqrt{2}) = \sqrt{10}\sqrt{10} - \sqrt{2}\sqrt{10} + \sqrt{2}\sqrt{10} - \sqrt{2}\sqrt{2}$ $= 10 - 2 = 8$ Vậy, biểu thức ban đầu sau khi rút gọn là: $\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{10} - 5\sqrt{2}}{8}$