giúp câu trong ảnh Bài 2 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức,$A=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+2}$ và $B=\frac x{x-4}+\frac1{\sqrt x+2}-\frac1{2-\sqrt x}$ (với $x\geq0;x
e4)$,a) Tính giá trị biểu thức A khi $x=25.$,b) Chứng minh: $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}$,c) Đặt $P=A:B.$ Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x để $\sqrt P

Question

giúp câu trong ảnh Bài 2 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức,$A=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+2}$ và $B=\frac x{x-4}+\frac1{\sqrt x+2}-\frac1{2-\sqrt x}$ (với $x\geq0;x
e4)$,a) Tính giá trị biểu thức A khi $x=25.$,b) Chứng minh: $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}$,c) Đặt $P=A:B.$ Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x để $\sqrt P<\frac12.$

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5296830,"userName":"Plll"}

a, Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện $x \geq 0; x eq 4$) vào biểu thức $A$, ta được:

$$A = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{25} + 2}$$

$$A = \frac{5}{5 + 2}$$

b, $B = \frac{x}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} - \frac{1}{2-\sqrt{x}}$

$$B = \frac{x}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} + \frac{1}{\sqrt{x}-2}$$

$$B = \frac{x + (\sqrt{x}-2) + (\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$

$$B = \frac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$

$$B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$

$$B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \quad ext{(Điều phải chứng minh)}$$

c, Ta có: $$P = A : B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$

$$P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$$

$$P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}$$

Để $\sqrt{P}$ tồn tại thì $P \geq 0$. Đồng thời theo đề bài $\sqrt{P} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \leq P < \frac{1}{4}$.

Xét $P \geq 0$: $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}-2 \geq 0$ (vì $\sqrt{x}+2 > 0$) $\Rightarrow x \geq 4$.

Kết hợp điều kiện $x eq 4$, ta có $x > 4$.

Xét $P < \frac{1}{4}$:

$$\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} < \frac{1}{4}$$

$$4(\sqrt{x}-2) < \sqrt{x} + 2$$

$$4\sqrt{x} - 8 < \sqrt{x} + 2$$

$$3\sqrt{x} < 10 \Rightarrow \sqrt{x} < \frac{10}{3} \Rightarrow x < \frac{100}{9} \approx 11,11$$

Ta có: $4 < x < \frac{100}{9}$.

Giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn là $x = 5$.

Timi · Answer

Bài 2:
a) Với $ x = 25 $:

$$ 
A = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{25} + 2} = \frac{5}{5 + 2} = \frac{5}{7}
$$

b) Ta sẽ chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} $:

$$ 
B = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}}
$$

Ta viết lại $ B $ dưới dạng chung:

$$ 
B = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}
$$

Ta quy đồng mẫu số:

$$ 
B = \frac{x}{x - 4} + \frac{(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}
$$

$$ 
B = \frac{x}{x - 4} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 4}
$$

$$ 
B = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4}
$$

Ta thấy rằng:

$$ 
B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{x - 4} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}
$$

c) Đặt $ P = A : B $:

$$ 
P = \frac{A}{B} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}
$$

Yêu cầu $ \sqrt{P} < \frac{1}{2} $:

$$ 
\sqrt{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}} < \frac{1}{2}
$$

Bình phương hai vế:

$$ 
\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} < \frac{1}{4}
$$

Nhân chéo:

$$ 
4(\sqrt{x} - 2) < \sqrt{x} + 2
$$

$$ 
4\sqrt{x} - 8 < \sqrt{x} + 2
$$

$$ 
3\sqrt{x} < 10
$$

$$ 
\sqrt{x} < \frac{10}{3}
$$

$$ 
x < \left( \frac{10}{3} \right)^2 = \frac{100}{9}
$$

Do $ x $ phải là số nguyên, ta chọn giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là $ x = 11 $.

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của $ x $ để $ \sqrt{P} < \frac{1}{2} $ là $ x = 11 $.