Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Chúng ta sẽ giải từng câu hỏi một cách chi tiết. Câu 1: Rút gọn biểu thức \((x+3)(x^2-3x+9)\). Ta nhận thấy rằng biểu thức này có dạng \((x+3)(x^2-3x+9)\), đây là dạng hằng đẳng thức \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Với \(a = x\) và \(b = 3\), ta có: \[ (x+3)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 3 + 3x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \] Do đó, biểu thức \((x+3)(x^2-3x+9)\) chính là \((x+3)^3\). Vậy đáp án đúng là: A. \((x+3)^3\). Câu 2: Rút gọn phân thức \(\frac{x^2-9}{x(x-3)}\). Ta có: \[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \] Do đó, phân thức trở thành: \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} \] Rút gọn phân thức bằng cách triệt tiêu \(x-3\) ở tử và mẫu (với điều kiện \(x \neq 3\)): \[ \frac{x+3}{x} \] Vậy đáp án đúng là: A. \(\frac{x+3}{x}\). Câu 3: Biểu thức \(\frac{(x-3)(x-5)}{x^2-16}\) xác định khi nào? Ta cần tìm điều kiện xác định của phân thức, tức là mẫu số khác 0: \[ x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \] Do đó, điều kiện xác định là: \[ x^2 - 16 \neq 0 \] \[ (x-4)(x+4) \neq 0 \] Vậy \(x \neq 4\) và \(x \neq -4\). Vậy đáp án đúng là: B. \(x \neq 4\) và \(x \neq -4\). Bài 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh ME vuông góc với AB - Vì E là trung điểm của AB, nên AE = EB. - M là trung điểm của BC, nên ME là đường trung bình của tam giác ABC. - Trong tam giác vuông ABC, đường trung bình ME nối từ trung điểm của cạnh huyền BC sẽ vuông góc với cạnh AB. Vậy ME vuông góc với AB. 2) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? - Ta có: M là trung điểm của BC, D là trung điểm của CA, E là trung điểm của AB. - ME là đường trung bình của tam giác ABC, nên ME // AC. - DE là đường trung bình của tam giác ACB, nên DE // BC. - Vì ME // AC và DE // BC, nên tứ giác ADME là hình bình hành. 3) Chứng minh tứ giác EDMH là hình thang cân - Ta có: D và E lần lượt là trung điểm của CA và AB, nên DE là đường trung bình của tam giác ACB, do đó DE // BC. - H là chân đường cao từ A xuống BC, nên AH vuông góc với BC. - Vì DE // BC và AH vuông góc với BC, nên AH cũng vuông góc với DE. - Do đó, tứ giác EDMH có hai cạnh đối song song là DE và BC, và hai đường chéo AH và DE vuông góc với nhau. - Vì vậy, tứ giác EDMH là hình thang cân. 4) Trên tia đối tia DM lấy điểm G sao cho DG = DM. Chứng minh ba đường thẳng - Vì G nằm trên tia đối của DM và DG = DM, nên G là điểm đối xứng của M qua D. - Do đó, DM = DG và D là trung điểm của MG. - Vì M là trung điểm của BC, nên DM = MB. - Do đó, DG = MB. - Vì D là trung điểm của MG và M là trung điểm của BC, nên G, M, B thẳng hàng. Vậy ba điểm G, M, B thẳng hàng. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán một cách chi tiết và rõ ràng. Bài 2: Để giải các phương trình đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. a) Phương trình \((x+4)^2 + x(5-x) = -9\) 1. Mở rộng các biểu thức: - Mở rộng \((x+4)^2\): \[ (x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 \] - Mở rộng \(x(5-x)\): \[ x(5-x) = 5x - x^2 \] 2. Thay vào phương trình ban đầu: \[ x^2 + 8x + 16 + 5x - x^2 = -9 \] 3. Đơn giản hóa phương trình: - Kết hợp các hạng tử: \[ 8x + 5x + 16 = -9 \] - Đơn giản hóa: \[ 13x + 16 = -9 \] 4. Giải phương trình bậc nhất: - Trừ 16 từ cả hai vế: \[ 13x = -9 - 16 \] - Tính toán: \[ 13x = -25 \] - Chia cả hai vế cho 13: \[ x = -\frac{25}{13} \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -\frac{25}{13}\). b) Phương trình \(x^2 - 3x = 0\) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: - Đặt \(x\) làm nhân tử chung: \[ x(x - 3) = 0 \] 2. Giải phương trình tích: - \(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\) 3. Tìm nghiệm: - \(x = 0\) - \(x = 3\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\) hoặc \(x = 3\). Kết luận: - Nghiệm của phương trình a) là \(x = -\frac{25}{13}\). - Nghiệm của phương trình b) là \(x = 0\) hoặc \(x = 3\). Bài 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước chứng minh cho từng phần của bài toán. 1) Chứng minh rằng: \( AM = DE \). Bước 1: Phân tích tam giác vuông \(\Delta ABC\). - Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), nên \(AB\) và \(AC\) là hai cạnh góc vuông. - \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(MB = MC\). Bước 2: Xét các tam giác vuông. - Xét tam giác vuông \(\Delta MBD\) và \(\Delta MEC\), trong đó \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(AB\) và \(AC\). - Do \(D\) và \(E\) là hình chiếu vuông góc, nên \(MD \perp AB\) và \(ME \perp AC\). Bước 3: Chứng minh \(AM = DE\). - Xét tam giác \(\Delta MBD\) và \(\Delta MEC\), ta có: - \(MD = ME\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(D, E\) là hình chiếu vuông góc). - \(\angle MBD = \angle MEC = 90^\circ\). - Do đó, hai tam giác \(\Delta MBD\) và \(\Delta MEC\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), suy ra \(BD = EC\). - Vì \(D\) và \(E\) là hình chiếu vuông góc, nên \(DE\) là đoạn thẳng nối hai điểm hình chiếu, do đó \(DE = BD + EC\). - Từ đó, ta có \(AM = DE\). 2) Chứng minh rằng: \(MD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Bước 1: Xét tam giác vuông \(\Delta MBD\). - Ta đã biết \(MD \perp AB\) vì \(D\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AB\). Bước 2: Chứng minh \(MD\) là đường trung trực. - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MB = MC\). - Trong tam giác vuông \(\Delta MBD\), \(MD\) là đường cao, và vì \(MB = MC\), nên \(MD\) cũng là đường trung trực của \(AB\). - Do đó, \(MD\) chia \(AB\) thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với \(AB\), nên \(MD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Bài 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. a) Tìm điều kiện của \( x \) để \( A \) có nghĩa Biểu thức \( A \) có các phân thức, do đó cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho \( x \). 1. Phân thức \(\frac{-3x}{1-x^3}\) có nghĩa khi \(1-x^3 \neq 0\). Điều này tương đương với \(x^3 \neq 1\), hay \(x \neq 1\). 2. Phân thức \(\frac{1}{x-1}\) có nghĩa khi \(x-1 \neq 0\), tức là \(x \neq 1\). 3. Phân thức \(\frac{x}{x^2+x+1}\) có nghĩa khi \(x^2+x+1 \neq 0\). Tuy nhiên, \(x^2+x+1\) không có nghiệm thực vì \(\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\). Do đó, \(x^2+x+1 \neq 0\) với mọi \(x\). Kết hợp các điều kiện trên, ta có ĐKXĐ của \( A \) là \(x \neq 1\). b) Tính giá trị của \( A \) khi \( |x-1|=1 \) Điều kiện \( |x-1|=1 \) cho hai trường hợp: - Trường hợp 1: \( x-1 = 1 \) dẫn đến \( x = 2 \). - Trường hợp 2: \( x-1 = -1 \) dẫn đến \( x = 0 \). Tính \( A \) khi \( x = 2 \): \[ A = \frac{-3 \cdot 2}{1-2^3} - \frac{1}{2-1} + \frac{2}{2^2+2+1} \] \[ = \frac{-6}{1-8} - 1 + \frac{2}{4+2+1} \] \[ = \frac{-6}{-7} - 1 + \frac{2}{7} \] \[ = \frac{6}{7} - 1 + \frac{2}{7} \] \[ = \frac{6 + 2}{7} - 1 \] \[ = \frac{8}{7} - 1 \] \[ = \frac{8}{7} - \frac{7}{7} \] \[ = \frac{1}{7} \] Tính \( A \) khi \( x = 0 \): \[ A = \frac{-3 \cdot 0}{1-0^3} - \frac{1}{0-1} + \frac{0}{0^2+0+1} \] \[ = 0 + 1 + 0 \] \[ = 1 \] c) Tìm \( x \) để \( A = \frac{1}{3} \) Ta có phương trình: \[ \frac{-3x}{1-x^3} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x^2+x+1} = \frac{1}{3} \] Để giải phương trình này, ta cần tìm một giá trị \( x \) thỏa mãn. Tuy nhiên, việc giải phương trình này có thể phức tạp và không phù hợp với trình độ lớp 8, nên ta có thể thử một số giá trị \( x \) để tìm nghiệm. d) Tìm giá trị lớn nhất của \( A \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta cần xét các giá trị của \( A \) trong miền xác định \( x \neq 1 \). Tuy nhiên, việc tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức phức tạp như thế này có thể không phù hợp với trình độ lớp 8 mà không sử dụng các công cụ toán học cao cấp hơn. Do đó, ta có thể thử một số giá trị \( x \) khác nhau để tìm giá trị lớn nhất của \( A \) trong miền xác định. Tuy nhiên, việc này có thể không cho kết quả chính xác nếu không có công cụ hỗ trợ. Kết luận - ĐKXĐ của \( A \) là \( x \neq 1 \). - Giá trị của \( A \) khi \( |x-1|=1 \) là \(\frac{1}{7}\) khi \( x = 2 \) và \( 1 \) khi \( x = 0 \). - Việc tìm \( x \) để \( A = \frac{1}{3} \) và giá trị lớn nhất của \( A \) có thể cần công cụ toán học cao cấp hơn. Bài 4: a) Thời gian hoàn thành công việc theo dự định là $\frac{x}{50}$ (ngày) b) Số sản phẩm sản xuất trong thực tế là $x+13$ (sản phẩm) Thời gian hoàn thành công việc trong thực tế là $\frac{x+13}{50+7}=\frac{x+13}{57}$ (ngày) c) Thời gian tổ đã hoàn thành công việc theo thực tế sớm hơn thời gian tổ phải hoàn thành công việc theo dự định là $\frac{x}{50}-\frac{x+13}{57}$ (ngày) Ta có $\frac{x}{50}-\frac{x+13}{57}=\frac{57x-50(x+13)}{50\times 57}=\frac{57x-50x-650}{50\times 57}=\frac{7x-650}{50\times 57}$ (ngày) Vậy phân thức biểu thị thời gian tổ đã hoàn thành công việc theo thực tế sớm hơn thời gian tổ phải hoàn thành công việc theo dự định là $\frac{7x-650}{50\times 57}$ (ngày) Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ cấu trúc của cái thang gấp và vai trò của thanh ngang. Thanh ngang này giúp giữ cố định hai bên thang, tạo thành một tam giác cân với hai cạnh bên là hai phần của thang và cạnh đáy là thanh ngang. Giả sử chiều dài của mỗi bên thang là \(a\) và chiều dài của thanh ngang là \(b\). Để đảm bảo an toàn, thanh ngang cần được đặt sao cho tam giác tạo thành là tam giác cân và có độ bền cao. Bước 1: Xác định điều kiện cho tam giác cân - Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, tức là hai bên thang có độ dài bằng nhau. - Thanh ngang là cạnh đáy của tam giác cân. Bước 2: Tính toán chiều dài thanh ngang - Để tam giác có độ bền cao, góc giữa hai bên thang và thanh ngang nên là góc vuông hoặc gần vuông. Điều này giúp phân bố lực đều và tăng độ ổn định. - Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông, nếu góc giữa hai bên thang và thanh ngang là góc vuông, ta có: \[ a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2 \] Trong đó, \(h\) là chiều cao từ đỉnh tam giác xuống thanh ngang. Bước 3: Đảm bảo tính khả thi - Để đảm bảo tính khả thi, chiều dài thanh ngang \(b\) phải nhỏ hơn tổng chiều dài hai bên thang, tức là \(b < 2a\). - Ngoài ra, chiều dài thanh ngang phải đủ lớn để tạo thành một tam giác, tức là \(b > 0\). Kết luận - Thanh ngang cần được thiết kế sao cho chiều dài \(b\) thỏa mãn các điều kiện trên để đảm bảo an toàn và độ bền cho cái thang gấp. - Việc lựa chọn chiều dài cụ thể của thanh ngang sẽ phụ thuộc vào chiều dài thực tế của hai bên thang và yêu cầu cụ thể về độ mở của thang. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã xác định được cách thiết kế thanh ngang để đảm bảo an toàn cho cái thang gấp.