rút gọn biểu thức sau
(√y)/(x+√xy)+(√y)/(x-√xy)÷(2√xy)/(x-y) với x0 y0 x≠y

Question

rút gọn biểu thức sau
 (√y)/(x+√xy)+(√y)/(x-√xy)÷(2√xy)/(x-y) với x>0 y>0 x≠y

cobengok · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left(\frac{\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}} +\frac{\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}} ight) :\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}\
=\left(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} +\sqrt{y} ight)} +\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} -\sqrt{y} ight)} ight) .\frac{x-y}{2\sqrt{xy}}\
=(\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x} -\sqrt{y} ight)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} +\sqrt{y} ight)\left(\sqrt{x} -\sqrt{y} ight)} +\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x} +\sqrt{y} ight)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} +\sqrt{y} ight)\left(\sqrt{x} -\sqrt{y} ight)} .\frac{x-y}{2\sqrt{xy}}\
=\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x} -\sqrt{y} ight) +\sqrt{y}\left(\sqrt{x} +\sqrt{y} ight)}{\sqrt{x}( x-y)} .\frac{x-y}{2\sqrt{xy}}\
=\frac{\sqrt{xy} -y+\sqrt{xy} +y}{\sqrt{x}( x-y)} .\frac{x-y}{2\sqrt{xy}} =\frac{1}{\sqrt{x}}
\end{array}$

Timi · Answer

Để rút gọn biểu thức này, ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Rút gọn tử số và mẫu số của từng phân số trong biểu thức.

- Rút gọn tử số của phân số (√y)/(x+√xy):
  Ta có: (√y)/(x+√xy) = (√y)/(x+√xy) * (√x-√y)/(√x-√y)
                  = (√xy - y)/(x√x - y√x + √xy - y^2)

- Rút gọn tử số của phân số (√y)/(x-√xy):
  Ta có: (√y)/(x-√xy) = (√y)/(x-√xy) * (√x+√y)/(√x+√y)
                  = (√xy + y)/(x√x + y√x + √xy + y^2)

- Rút gọn tử số của phân số (2√xy)/(x-y):
  Ta có: (2√xy)/(x-y) = (2√xy)/(x-y) * (√x+√y)/(√x+√y)
                  = (2√xy(√x+√y))/(x√x + y√x + √xy + y^2)

Bước 2: Kết hợp các phân số đã rút gọn.

Ta có: (√y)/(x+√xy)+(√y)/(x-√xy)÷(2√xy)/(x-y)
      = (√xy - y)/(x√x - y√x + √xy - y^2) + (√xy + y)/(x√x + y√x + √xy + y^2) ÷ (2√xy(√x+√y))/(x√x + y√x + √xy + y^2)

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

- Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với (x√x + y√x + √xy + y^2):
  Ta có: (√xy - y)/(x√x - y√x + √xy - y^2) * (x√x + y√x + √xy + y^2)/(x√x + y√x + √xy + y^2)
        = (√xy(x√x + y√x + √xy + y^2) - y(x√x + y√x + √xy + y^2))/(x√x(x√x + y√x + √xy + y^2) - y√x(x√x + y√x + √xy + y^2) + √xy(x√x + y√x + √xy + y^2) - y^2(x√x + y√x + √xy + y^2))
        = (√x^3y + √xy^3 + xy + y^3 - xy√x - y^2√x - √xy^2 - y^3)/(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3)

- Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với (x√x + y√x + √xy + y^2):
  Ta có: (√xy + y)/(x√x + y√x + √xy + y^2) * (x√x + y√x + √xy + y^2)/(x√x + y√x + √xy + y^2)
        = (√xy(x√x + y√x + √xy + y^2) + y(x√x + y√x + √xy + y^2))/(x√x(x√x + y√x + √xy + y^2) + y√x(x√x + y√x + √xy + y^2) + √xy(x√x + y√x + √xy + y^2) + y^2(x√x + y√x + √xy + y^2))
        = (√x^3y + √xy^3 + xy + y^3 + xy√x + y^2√x + √xy^2 + y^3)/(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3)

- Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ ba với (x√x + y√x + √xy + y^2):
  Ta có: (2√xy(√x+√y))/(x√x + y√x + √xy + y^2) * (x√x + y√x + √xy + y^2)/(x√x + y√x + √xy + y^2)
        = (2√xy(√x+√y)(x√x + y√x + √xy + y^2))/(x√x(x√x + y√x + √xy + y^2) + y√x(x√x + y√x + √xy + y^2) + √xy(x√x + y√x + √xy + y^2) + y^2(x√x + y√x + √xy + y^2))
        = (2√xy(√x+√y)(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3))/(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3)

Bước 4: Tính tổng các phân số đã rút gọn.

Ta có: (√xy - y)/(x√x - y√x + √xy - y^2) + (√xy + y)/(x√x + y√x + √xy + y^2) ÷ (2√xy(√x+√y))/(x√x + y√x + √xy + y^2)
      = (√x^3y + √xy^3 + xy + y^3 - xy√x - y^2√x - √xy^2 - y^3)/(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3) + (2√xy(√x+√y)(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3))/(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3)

Bước 5: Rút gọn biểu thức.

- Tính tử số:
  (√x^3y + √xy^3 + xy + y^3 - xy√x - y^2√x - √xy^2 - y^3) + (2√xy(√x+√y)(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3))

- Tính mẫu số:
  (x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3)

Bước 6: Kết quả cuối cùng.

Biểu thức đã được rút gọn thành: (√x^3y + √xy^3 + xy + y^3 - xy√x - y^2√x - √xy^2 - y^3)/(x^2√x + xy√x + √x^2y + y^2√x + x√xy + y√xy + √x^2y + y^2√xy + x√xy^2 + y√xy^2 + √xy^3 + y^3)

rút gọn biểu thức sau (√y)/(x+√xy)+(√y)/(x-√xy)÷(2√xy)/(x-y) với x>0 y>0 x≠y