(1) cho a,b,c là ba số nguyên dương thóa mãn 4/a + 2/b= 1/c.
(2) chúng minh Q=a²+4b²+16c² là một số chính phương.
cảm ơn ạ

Question

Pizzaa · Accepted Answer

Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{4}{a} \ +\ \frac{2}{b} \ =\ \frac{1}{c}\
\
\frac{4b}{ab} \ +\ \frac{2a}{ab} \ =\ \frac{1}{c}\
\
\frac{4b+2a}{ab} \ =\ \frac{1}{c}\
\
c=\ \frac{ab}{4b+2a}
\end{array}$

Lại có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
a^{2} \ +\ 4b^{2} \ +\ 16c^{2} \ =\ a^{2} \ +\ 4b^{2} \ +\ 16\left(\frac{ab}{4b+2a} ight)^{2}\
=\ a^{2} \ +\ 4b^{2} \ +\ 4\left(\frac{ab}{a+2b} ight)^{2}\
=\ a^{2} \ +\ 4ab+4b^{2} \ -4ab+4\left(\frac{ab}{a+2b} ight)^{2}\
=\ ( a+2b)^{2} \ -\ 4( a+2b)\frac{ab}{a+2b} +4\left(\frac{ab}{a+2b} ight)^{2}\
=\left[( a+2b) -\frac{2ab}{a+2b} ight]^{2} \ \Rightarrow \ \mathrm{là\ số\ chính\ phương} \ ( đpcm)
\end{array}$

Timi · Answer

(1) Ta có phương trình 4/a + 2/b = 1/c. Để giải phương trình này, ta nhân cả hai vế của phương trình với abc để loại bỏ mẫu số:
4bc + 2ac = ab.
Đặt x = ab và y = ac, ta có hệ phương trình:
4bc + 2ac = x,
ab = x,
ac = y.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
4bc + 2ac = x,
ab = x,
ac = y.
Giải hệ phương trình này, ta có:
c = y/a,
b = x/(4y/a - 2a).
Thay c và b vào phương trình ab = x, ta được:
a * (x/(4y/a - 2a)) = x,
x^2 = 4ay.
Do đó, x là bình phương của một số nguyên dương.

(2) Ta có Q = a² + 4b² + 16c². Để chứng minh Q là một số chính phương, ta cần chứng minh rằng a², 4b² và 16c² đều là các số chính phương.
Vì a là một số nguyên dương, nên a² là một số chính phương.
Vì b cũng là một số nguyên dương, nên 4b² cũng là một số chính phương.
Vì c cũng là một số nguyên dương, nên 16c² cũng là một số chính phương.
Do đó, Q = a² + 4b² + 16c² là một số chính phương.

(1) cho a,b,c là ba số nguyên dương thóa mãn 4/a + 2/b= 1/c. (2) chúng minh Q=a²+4b²+16c² là một số chính phương. cảm ơn ạ