cho tam giác abc đều cạnh a. m trên bc kẻ me vuông ab,mf vuông ac. tìm min ef

Kẻ AH vuông góc với BC; gọi độ dài các cạnh là a
Gọi O là trung điểm AM, D là trung điểm AH.
$\displaystyle \Rightarrow OD$ là đường trung bình trong tam giác AHM $\displaystyle \Rightarrow OD//HM$
Mà $\displaystyle AH\bot HM$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow OD\bot AH\\
\Rightarrow OH\geqslant DH\\
\Rightarrow OH\geqslant \frac{1}{2} AH\geqslant \frac{a\sqrt{3}}{4}
\end{array}$
Do tam giác ABC đều, OH đường cao đồng thời là đường phân giác.
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BAH} =\widehat{CAH} =30^{o}$
Ta có các tam giác AEM;AHM;AFM đều có cạnh huyền là AM
$\displaystyle \Rightarrow A,E,M,N,F\ $đều thuộc đường tròn đường kính AM.
$\displaystyle \Rightarrow A,E,M,H,F$ thuộc đường trong tâm O.
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{HOF} =2.\widehat{CAH} =60^{o}$(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung HF)
Mà OH=OF ( bánh kính đường tròn)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle OHF\ $đều
Chứng minh tương tự $\displaystyle \Rightarrow \vartriangle OHE$ đều
$\displaystyle \Rightarrow OE=HE=OF=HF$
$\displaystyle \Rightarrow OEHF$ là hình thoi.
Gọi I là giao điểm của EF và OH $\displaystyle \Rightarrow $I là tâm hình thoi.
$\displaystyle EF=2EI=2.\sqrt{OE^{2} -OI^{2}} =2.\sqrt{OH^{2} -\left(\frac{OH}{2}\right)^{2}} =2.OH\frac{\sqrt{3}}{2} =OH\sqrt{3} \geqslant \frac{1}{2} .AH.\sqrt{3} \geqslant \frac{3a}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OH=DH hay $\displaystyle M\equiv H$.