Bài 6. Cho tam giác ABC , lấy điểm N trên AC sao cho CN = 1/2 x AN , M trên AB sao cho BM = 1/3 x AM , nối BN cắt tại E , AE cắt BC tại F , tính tỉ lệ CF / FB

Xét hai tam giác BMC và AMC chung đường cao hạ từ C xuống cạnh đáy AB

$\displaystyle \Longrightarrow \frac{S_{BMC}}{S_{AMC}} =\frac{MB}{MA} =\frac{1}{3} \Longrightarrow S_{BMC} =\frac{1}{3} \times S_{AMC}$

Xét hai tam giác BME và AME chung đường cao hạ từ E xuống cạnh đáy AB

$\displaystyle \Longrightarrow \frac{S_{BME}}{S_{AME}} =\frac{MB}{MA} =\frac{1}{3} \Longrightarrow S_{BME} =\frac{1}{3} \times S_{AME}$

Suy ra $\displaystyle S_{BEC} =\frac{1}{3} \times S_{AEC}$

Xét hai tam giác AEC và NEC chung đường cao hạ từ E xuống cạnh đáy AC

$\displaystyle \Longrightarrow \frac{S_{AEC}}{S_{NEC}} =\frac{AC}{NC} =3\Longrightarrow S_{NEC} =\frac{1}{3} \times S_{AEC}$

Do đó $\displaystyle S_{BEC} =S_{NEC} =\frac{1}{3} \times S_{AEC}$

Mà hai tam giác BEC và NEC có chung đường cao hạ từ C xuống BN

Suy ra $\displaystyle BE=EN$

Từ đó ta có

$\displaystyle S_{BAE} =S_{NAE}$ (Chung đường cao hạ từ A xuống BN và BE=EN)

$\displaystyle S_{BFE} =S_{NFE}$ (Chung đường cao hạ từ F xuống BN và BE=EN)

Từ hai điều trên suy ra $\displaystyle S_{BAF} =S_{NAF}$

Mà $\displaystyle S_{NAF} =\frac{2}{3} \times S_{CAF}$ (Chung đường cao hạ từ E xuống AC và $\displaystyle AN=\frac{2}{3} \times AC$)

Do đó $\displaystyle S_{BAF} =\frac{2}{3} \times S_{CAF}$. Mà hai tam giác này có chung đường cao hạ từ A xuống BC nên suy ra

$\displaystyle BF=\frac{2}{3} \times CF$