Bài 3. Cho tam giác ABC có cạnh đáy BC = 20cm và chiều cao AH = 12cm . Gọi M, N , P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC , AB và AC . Nối M, N , P. Tìm diện tích tam giác MNP

Xét hai tam giác AMB và AMC có chung đường cao AH

$\displaystyle \Longrightarrow \frac{S_{AMB}}{S_{AMC}} =\frac{MB}{MC} =1\Longrightarrow S_{AMB} =S_{AMC} =\frac{1}{2} S_{ABC}$.

Xét hai tam giác BMP và BMA có chung đường cao hạ từ M xuống AB

$\displaystyle \Longrightarrow \ \frac{S_{BMP}}{S_{BMA}} =\frac{BP}{BA} =\frac{1}{2} \Longrightarrow S_{BMP} =\frac{1}{2} S_{BMA} =\frac{1}{4} S_{ABC}$

Xét hai tam giác CMN và CMA có chung đường cao hạ từ M xuống AC

$\displaystyle \Longrightarrow \ \frac{S_{CMN}}{S_{CMA}} =\frac{CN}{CA} =\frac{1}{2} \Longrightarrow S_{CMN} =\frac{1}{2} S_{CMA} =\frac{1}{4} S_{ABC}$

Tương tự ta cũng có $\displaystyle S_{APN} =\frac{1}{4} S_{ABC}$

Ta có:

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{MNP} =S_{ABC} -S_{APN} -S_{BPM} -S_{C}{}_{MN}\\
=S_{ABC} -\frac{1}{4} S_{ABC} -\frac{1}{4} S_{ABC} -\frac{1}{4} S_{ABC} =\frac{1}{4} S_{ABC}\\
=\frac{1}{4} \times \frac{AH\times BC}{2} =\frac{1}{4} \times \frac{12\times 20}{2} =30\ \left( cm^{2}\right)
\end{array}$