Giải giúp em 2 bài này ạ Bài 1: Tính giá trị biểu thức,$4\frac13 imes1\frac18 imes1\frac1{15} imes1\frac1{24},1\frac1{35} imes1\frac1{63} imes1\frac1{80} imes1\frac1{99}.$,Bài 2 Hãy chứng minh tổng trên nhỏ hơn 1.,$,3.~P=\frac13+\frac17+\frac1{13}+\frac1{271}+\frac1{31}+\frac1{43}+\frac1{57}+\frac1{73}+\frac191$,Vở ô ly cao cấp chống lóa - mỏi mắt AAAAXA

Question

Giải giúp em 2 bài này ạ Bài 1: Tính giá trị biểu thức,$4\frac13	imes1\frac18	imes1\frac1{15}	imes1\frac1{24},1\frac1{35}	imes1\frac1{63}	imes1\frac1{80}	imes1\frac1{99}.$,Bài 2 Hãy chứng minh tổng trên nhỏ hơn 1.,$,3.~P=\frac13+\frac17+\frac1{13}+\frac1{271}+\frac1{31}+\frac1{43}+\frac1{57}+\frac1{73}+\frac191$,Vở ô ly cao cấp chống lóa - mỏi mắt AAAAXA

Accepted Answer

{"userId":5402303,"userName":"Apple_v2qU5FukcrfZQ33EBPJau1AcVg23"}

Bài 1:

Tính giá trị biểu thức $A$:

$A = 1\frac{1}{3} imes 1\frac{1}{8} imes 1\frac{1}{15} imes 1\frac{1}{24} imes 1\frac{1}{35} imes 1\frac{1}{63} imes 1\frac{1}{80} imes 1\frac{1}{99}$

Đầu tiên, ta đổi các hỗn số thành phân số:

$A = \frac{4}{3} imes \frac{9}{8} imes \frac{16}{15} imes \frac{25}{24} imes \frac{36}{35} imes \frac{64}{63} imes \frac{81}{80} imes \frac{100}{99}$

Ta có thể viết lại các phân số dưới dạng tích:

$A = \frac{2 imes 2}{1 imes 3} imes \frac{3 imes 3}{2 imes 4} imes \frac{4 imes 4}{3 imes 5} imes \frac{5 imes 5}{4 imes 6} imes \frac{6 imes 6}{5 imes 7} imes \frac{8 imes 8}{7 imes 9} imes \frac{9 imes 9}{8 imes 10} imes \frac{10 imes 10}{9 imes 11}$

Sắp xếp lại các thừa số để dễ rút gọn:

$A = \left( \frac{2}{1} imes \frac{3}{2} imes \frac{4}{3} imes \frac{5}{4} imes \frac{6}{5} imes \frac{8}{7} imes \frac{9}{8} imes \frac{10}{9} ight) imes \left( \frac{2}{3} imes \frac{3}{4} imes \frac{4}{5} imes \frac{5}{6} imes \frac{6}{7} imes \frac{8}{9} imes \frac{9}{10} imes \frac{10}{11} ight)$

Tính giá trị của nhóm thừa số thứ nhất (dạng tích rút gọn):

$\frac{\cancel{2}}{1} imes \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}} imes \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} imes \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} imes \frac{6}{\cancel{5}} imes \frac{\cancel{8}}{7} imes \frac{\cancel{9}}{\cancel{8}} imes \frac{10}{\cancel{9}} = \frac{6 imes 10}{1 imes 7} = \frac{60}{7}$

Tính giá trị của nhóm thừa số thứ hai (dạng tích rút gọn):

$\frac{2}{\cancel{3}} imes \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} imes \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} imes \frac{\cancel{5}}{\cancel{6}} imes \frac{\cancel{6}}{7} imes \frac{8}{\cancel{9}} imes \frac{\cancel{9}}{\cancel{10}} imes \frac{\cancel{10}}{11} = \frac{2 imes 8}{7 imes 11} = \frac{16}{77}$

Nhân hai kết quả vừa tìm được:

$A = \frac{60}{7} imes \frac{16}{77} = \frac{60 imes 16}{7 imes 77} = \frac{960}{539}$

Vậy giá trị của biểu thức là $A = \frac{960}{539}$.

Bài 2:

Chứng minh rằng tổng $P = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{13} + \frac{1}{21} + \frac{1}{31} + \frac{1}{43} + \frac{1}{57} + \frac{1}{73} + \frac{1}{91}$ nhỏ hơn 1.

Ta nhận thấy các mẫu số của các phân số trong tổng $P$ có dạng $n^2+n+1$:

$3 = 1^2+1+1$

$7 = 2^2+2+1$

$13 = 3^2+3+1$

$21 = 4^2+4+1$

$31 = 5^2+5+1$

$43 = 6^2+6+1$

$57 = 7^2+7+1$

$73 = 8^2+8+1$

$91 = 9^2+9+1$

Do đó, $P = \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n^2+n+1}$.

Ta có bất đẳng thức: $n^2+n+1 > n^2+n = n(n+1)$ với mọi số nguyên dương $n$.

Suy ra: $\frac{1}{n^2+n+1} < \frac{1}{n(n+1)}$ với mọi $n \ge 1$.

Áp dụng bất đẳng thức này cho các số hạng của $P$ từ số hạng thứ hai ($n=2$) trở đi:

$\frac{1}{7} < \frac{1}{2 imes 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{13} < \frac{1}{3 imes 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

$\frac{1}{21} < \frac{1}{4 imes 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$

$\frac{1}{31} < \frac{1}{5 imes 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{43} < \frac{1}{6 imes 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$

$\frac{1}{57} < \frac{1}{7 imes 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}$

$\frac{1}{73} < \frac{1}{8 imes 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$

$\frac{1}{91} < \frac{1}{9 imes 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được:

$\frac{1}{7} + \frac{1}{13} + \dots + \frac{1}{91} < \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} ight) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10} ight)$

$\frac{1}{7} + \frac{1}{13} + \dots + \frac{1}{91} < \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Bây giờ, cộng số hạng đầu tiên $\frac{1}{3}$ vào hai vế của bất đẳng thức:

$P = \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{13} + \dots + \frac{1}{91} ight) < \frac{1}{3} + \frac{2}{5}$

$P < \frac{5}{15} + \frac{6}{15}$

$P < \frac{11}{15}$

Vì $\frac{11}{15} < 1$, nên ta kết luận $P < 1$.

Đây là điều phải chứng minh.