Tìm tập giá trị : Y=sinx+cosx

Để tìm tập giá trị của hàm số Y=sinx+cosx, ta cần xem xét giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Giá trị lớn nhất của sinx và cosx là 1, nhưng khi cả hai cùng đạt giá trị lớn nhất thì tổng của chúng sẽ lớn nhất. Tuy nhiên, sinx và cosx không thể cùng đạt giá trị lớn nhất tại cùng một thời điểm. Vì vậy, ta cần tìm giá trị lớn nhất của sinx+cosx. Đặt t=sinx, ta có hàm số Y=t+sqrt(1-t^2). Đạo hàm của hàm số này là 1 - t/sqrt(1-t^2). Đặt đạo hàm bằng 0, ta được t=1/sqrt(2). Thay t vào hàm số, ta được giá trị lớn nhất là sqrt(2). Tương tự, giá trị nhỏ nhất của sinx và cosx là -1. Khi cả hai cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng của chúng sẽ nhỏ nhất. Tuy nhiên, sinx và cosx không thể cùng đạt giá trị nhỏ nhất tại cùng một thời điểm. Vì vậy, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của sinx+cosx. Đặt t=sinx, ta có hàm số Y=t-sqrt(1-t^2). Đạo hàm của hàm số này là 1 + t/sqrt(1-t^2). Đặt đạo hàm bằng 0, ta được t=-1/sqrt(2). Thay t vào hàm số, ta được giá trị nhỏ nhất là -sqrt(2). Vậy, tập giá trị của hàm số Y=sinx+cosx là [-sqrt(2); sqrt(2)].