Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ

Giả sử ta có số hữu tỉ p và số vô tỉ q. Theo định nghĩa, số hữu tỉ p có thể được biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên a và b (b khác 0), tức là p = a/b. Số vô tỉ q không thể được biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên, tức là không tồn tại hai số nguyên m và n sao cho q = m/n. Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng tổng của p và q (p + q) là một số vô tỉ. Nếu p + q là một số hữu tỉ, thì tồn tại hai số nguyên x và y sao cho p + q = x/y. Nhưng theo định lý về số hữu tỉ, ta có thể viết lại phương trình này như sau: q = x/y - p. Vì p là một số hữu tỉ, nên x/y - p cũng là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là q, một số vô tỉ, có thể được biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên, điều này trái với giả định ban đầu của chúng ta. Vì vậy, p + q không thể là một số hữu tỉ, tức là p + q là một số vô tỉ. Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.