Bài 4. Tìm các chữ số a b c , , thỏa mãn
a) ab + bc + ca =abc (ab,bc,ca là sô tụ nhiên )
b) abcd+ abc+ ab+ a =4321 ( abcd,abc,ab,a là sô tụ nhiên)

Question

Bài 4. Tìm các chữ số a b c , , thỏa mãn
a) ab +  bc + ca =abc  (ab,bc,ca là sô tụ nhiên )
b) abcd+ abc+ ab+ a =4321 ( abcd,abc,ab,a là sô tụ nhiên)

Duongthuydung · Accepted Answer

a. $\displaystyle \overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ac}=\overline{abc}$ (ab,bc,ca,abc là các số tự nhiên) $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \Rightarrow 10a+b+10b+c+10c+a=100a+10b+c\ \Rightarrow 11a+11b+11c=100a+10b+c\ \Rightarrow b+10c=89a\ Có:\ b+10c\leqslant 99\ ( 0\leqslant a,b,c\leqslant 9)\ \Rightarrow 89a\leqslant 99\ \Rightarrow 0\leqslant a\leqslant 1\ *\ a=0\ \Rightarrow b+10c=0\ \Rightarrow b=0;c=0\ *\ a=1\ \Rightarrow b+10c=89\ \Rightarrow b=89-10c\ 0\leqslant b\leqslant 9\ \Rightarrow 0\leqslant 89-10c\leqslant 9\ \Rightarrow 80\leqslant 10c\leqslant 89\ \Rightarrow 8\leqslant c\leqslant 8,9\ \Rightarrow c=8\ \Rightarrow b=9 \end{array}$

Vậy các số a,b,c thỏa mãn là: a=0;b=0;c=0 hoặc a=1;b=9;c=8 b. $\displaystyle \overline{abcd}+\overline{abc}+\overline{ab}+\overline{a}=4321$ (abcd,abc,ab,a là các số tự nhiên) $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \Rightarrow 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a=4321\ \Rightarrow 1111a+111b+11c+d=4321\ *\ a< 3\ \Rightarrow 111b+11c+d >4321-1111.2=2098\ ( \ vô\ lý\ vì\ 0\leqslant b,c,d\leqslant 9)\ *\ a >3\ \Rightarrow VT >4321\ \Rightarrow a=3\ \Rightarrow 111b+11c+d=988\ *\ b< 8\ \Rightarrow 11c+d >210\ ( \ vô\ lý\ vì\ 0\leqslant c,d\leqslant 9)\ *\ b >8\ \Rightarrow VT >988\ \Rightarrow b=8\ \Rightarrow 11c+d=100\ \Rightarrow d=100-11c\ 0\leqslant d\leqslant 9\ \Rightarrow 0\leqslant 100-11c\leqslant 9\ \Rightarrow 91\leqslant 11c\leqslant 100\ \Rightarrow \frac{91}{11} \leqslant c\leqslant \frac{100}{11}\ \Rightarrow c=9\ \Rightarrow d=100-99=1 \end{array}$

Vậy các số a,b,c,d thỏa mãn là: a=3;b=8;c=9;d=1

Timi · Answer

a) Để giải bài toán này, ta cần hiểu rằng ab, bc, ca không phải là phép nhân giữa a và b, b và c, c và a mà là các số hai chữ số được tạo từ a, b, c. Ví dụ, nếu a=1, b=2 thì ab=12.

Vậy, ta có hệ phương trình sau:
10a + b + 10b + c + 10c + a = 100a + 10b + c
Từ đó, ta thu gọn được:
19a + 11b + 11c = 100a + 10b + c
81a - b - 9c = 0

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được a = 1, b = 8, c = 1.

b) Tương tự như trên, ta có hệ phương trình sau:
1000a + 100b + 10c + d + 100a + 10b + c + 10a + b + a = 4321
Từ đó, ta thu gọn được:
1111a + 121b + 11c + d = 4321

Do a, b, c, d đều là các chữ số nên a, b, c, d ∈ {0, 1, 2, ..., 9}. Nhưng trong trường hợp này, a không thể bằng 0 (vì abcd là số tự nhiên có 4 chữ số). Do đó, a chỉ có thể nhận giá trị từ 1 đến 9.

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được a = 3, b = 8, c = 5, d = 6.

HongUyen · Answer

Câu a: 
Giả sử a,b,c có một số bằng 0. 
Vai trò a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử a = 0 thì: 
 $\displaystyle \Leftrightarrow \ bc\ =\ 0$ 
$\displaystyle \ \Leftrightarrow \ b\ =\ 0\ hoặc\ c\ =\ 0\ $
Tức là sẽ có 2 nghiệm: $\displaystyle ( 0,0,c)$ hoặc$\displaystyle \ ( 0,b,0) \ $(b,c ở đây tùy ý) 
Tóm lại, trường hợp này có 3 bộ số thỏa mãn là: $\displaystyle ( a,0,0) ;\ ( 0,0,c)$ hoặc $\displaystyle ( 0,b,0)$ 
với a,b,c trong mỗi bộ là là các chữ số tùy ý từ 0 → 9.
 Thay số mỗi bộ chạy từ 1 → 9 thì ta có mỗi họ nghiệm trên có 9 nghiệm => có$\displaystyle \ 9.3\ =\ 27$ nghiệm 
Cộng thêm 1 bộ $\displaystyle ( 0,0,0)$ chung nữa là có tất cả 28 nghiệm cho trường hợp này. 
→ Nếu a,b,c đều khác 0: 
Chia cả 2 vế cho $\displaystyle abc$ đc: 
$\displaystyle \frac{1}{a} \ +\ \frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \ =\ 1$ (1) 
Từ (1) $\displaystyle \Longrightarrow $ $\displaystyle a,b,c\ \geq \ 2$ vì nếu một trong 3 số bằng 1, giả sử a = 1 thì: 
$\displaystyle 1\ +\ \frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \ =\ 1\ $
$\displaystyle \Leftrightarrow \ \frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \ =\ 0\ $(vô lý) 
Do đó ta giả sử tiếp 
$\displaystyle 2\ \leq \ a\ \leq \ b\ \leq \ c$ thì: $\displaystyle \frac{1}{a} \ \geq \ \frac{1}{b} \ \geq \ \frac{1}{c} \ $
$\displaystyle = >\ 1\ =\ \frac{1}{a} +\ \frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \leq \ \frac{3}{a} \ $
$\displaystyle = >\ 3\ \geq \ a\ \geq \ 2\ $
***Nếu $\displaystyle a\ =\ 2$: $\displaystyle \frac{1}{b} +\ \frac{1}{c} +\frac{1}{2} =\ 1\ $<
$\displaystyle \Longrightarrow \ \frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \ =\frac{1}{2}$ (2) 
$\displaystyle \Longrightarrow \ \frac{1}{2} \ =\ \frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \leq \ \frac{2}{b} \ $
$\displaystyle \Longrightarrow \ b\ \leq \ 4\ $
Do$\displaystyle \ b\  >\ 2\ ( b\ =\ 2$ thì (2)$\displaystyle \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{2} \ +\ \frac{1}{c} \ =\ \frac{1}{2}$ → vô lý) nên $\displaystyle b\ =\ 3\ $hoặc$\displaystyle \ b\ =\ 4\ $
+ Với b = 3 thì $\displaystyle \frac{1}{c} \ +\ \frac{1}{3} \ =\ \frac{1}{2}$ $\displaystyle \Leftrightarrow \ c\ =\ 6\ $
Ta được cặp $\displaystyle ( 2,3,6)$ thỏa mãn 
+ Với b = 4 thì$\displaystyle \ \frac{1}{c} \ +\ \frac{1}{4} \ =\ \frac{1}{2} \Leftrightarrow \ c\ =\ 4\ $
Ta đc cặp $\displaystyle ( 2,4,4)$ thỏa mãn 
***Nếu a = 3 thì: 
$\displaystyle \frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \ =\ \frac{2}{3}$ 
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{2}{3} \ =\frac{1}{b} \ +\ \frac{1}{c} \ \leq \ \frac{2}{b}$ 
$\displaystyle \Longrightarrow \ b\ \leq \ 3\ \Longrightarrow $ mà do $\displaystyle b\ \geq \ a\ =\ 3$ nên chỉ có thể là $\displaystyle b\ =\ 3\ $
Thay vào được$\displaystyle \ c\ =\ 3\ $
Trường hợp này ta chỉ có một cặp $\displaystyle ( 3,3,3) \ $
Tóm lại trường hợp $\displaystyle a,b,c\  >\ 0\ $ta có 10 cặp sau thỏa mãn: 
$\displaystyle ( 3,3,3) ;\ ( 2,4,4) ;\ ( 4,2,4) ;\ ( 4,4,2) ;\ ( 2,3,6) ;\ ( 2,6,3) ;\ ( 3,2,6) ;\ ( 3,6,2) ;\ ( 6,3,2) ;( 6,2,3$)

Bài 4. Tìm các chữ số a b c , , thỏa mãn a) ab + bc + ca =abc (ab,bc,ca là sô tụ nhiên ) b) abcd+ abc+ ab+ a =4321 ( abcd,abc,ab,a là sô tụ nhiên)