Cho tam giác ABC. CMR:
cosA +cosB + cosC ≤ 3/2

Question

moonsayhi · Accepted Answer

$\displaystyle BC=a,AC=b,AB=c$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
cosA=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2}}{2bc}\
cosB=\frac{a^{2} +c^{2} -b^{2}}{2ac}\
cosC=\frac{a^{2} +b^{2} -c^{2}}{2ab}
\end{array}$
Ta chứng minh bất đẳng thức luôn đúng
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
cosA+cosB+cosC\leqslant \frac{3}{2}\
\Leftrightarrow \frac{b^{2} +c^{2} -a^{2}}{2bc} +\frac{a^{2} +c^{2} -b^{2}}{2ac} +\frac{a^{2} +b^{2} -c^{2}}{2ab} \leqslant \frac{3}{2}\
\Leftrightarrow b^{2} a+c^{2} a+c^{2} b+a^{2} b+a^{2} c+b^{2} c\leqslant 3abc\
\Leftrightarrow a( a-b)( a-c) +b( b-c)( b-a) +c( c-a)( c-b) \geqslant 0
\end{array}$
Áp dụng định lý Schur ta thấy điều này luôn đúng

Timi · Answer

Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng công thức cos của góc trong tam giác và bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân).

Theo công thức cos trong tam giác, ta có:

cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc
cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

Do đó, cosA + cosB + cosC = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc + (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac + (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

Sắp xếp lại, ta được:

cosA + cosB + cosC = (a^2 + b^2 + c^2) / 2ab + (a^2 + b^2 + c^2) / 2bc + (a^2 + b^2 + c^2) / 2ac - 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

(a^2 + b^2 + c^2) / 2ab ≤ sqrt[(a^2 + b^2 + c^2)^2 / 4a^2b^2] = (a^2 + b^2 + c^2) / 2ab

Tương tự, ta cũng có:

(a^2 + b^2 + c^2) / 2bc ≤ (a^2 + b^2 + c^2) / 2bc
(a^2 + b^2 + c^2) / 2ac ≤ (a^2 + b^2 + c^2) / 2ac

Cộng ba bất đẳng thức trên lại, ta được:

cosA + cosB + cosC ≤ 3/2 - 1 = 1/2

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức cosA + cosB + cosC ≤ 3/2.

Cho tam giác ABC. CMR: cosA +cosB + cosC ≤ 3/2