giải giúp mình

Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( F = 3x - y \) với \((x; y)\) là nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần kiểm tra giá trị của \( F \) tại các đỉnh của miền tứ giác \( ABCD \). Các đỉnh của miền nghiệm là: - \( A(3; 0) \) - \( B(5; 1) \) - \( C(1; 5) \) - \( D(1; 3) \) Ta tính giá trị của \( F \) tại từng đỉnh: 1. Tại điểm \( A(3; 0) \): \[ F = 3 \times 3 - 0 = 9 \] 2. Tại điểm \( B(5; 1) \): \[ F = 3 \times 5 - 1 = 15 - 1 = 14 \] 3. Tại điểm \( C(1; 5) \): \[ F = 3 \times 1 - 5 = 3 - 5 = -2 \] 4. Tại điểm \( D(1; 3) \): \[ F = 3 \times 1 - 3 = 3 - 3 = 0 \] So sánh các giá trị của \( F \) tại các đỉnh, ta thấy giá trị lớn nhất là \( 14 \), đạt được tại điểm \( B(5; 1) \). Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức \( F = 3x - y \) là \( 14 \), đạt được khi \( (x, y) = (5, 1) \). Câu 5: Để tính độ dài của tổng các vectơ $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}|$, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử điểm $A$ có tọa độ $(0, 0)$, do đó: - Điểm $B$ có tọa độ $(3, 0)$ vì $AB = 3$. - Điểm $C$ có tọa độ $(3, 3)$ vì $BC = 3$ và $C$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $AB$. - Điểm $D$ có tọa độ $(0, 3)$ vì $AD = 3$ và $D$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $AB$. 2. Tính các vectơ: - $\overrightarrow{AB} = (3 - 0, 0 - 0) = (3, 0)$ - $\overrightarrow{AC} = (3 - 0, 3 - 0) = (3, 3)$ - $\overrightarrow{AD} = (0 - 0, 3 - 0) = (0, 3)$ 3. Tính tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (3, 0) + (3, 3) + (0, 3) = (3 + 3 + 0, 0 + 3 + 3) = (6, 6) \] 4. Tính độ dài của vectơ tổng: Độ dài của vectơ $(6, 6)$ là: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] 5. Làm tròn kết quả: Tính giá trị gần đúng của $6\sqrt{2}$: \[ 6\sqrt{2} \approx 6 \times 1.414 = 8.484 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được $8.48$. Vậy, $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}| \approx 8.48$ cm. Câu 6: Để tính độ dài của vector tổng $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ trong tam giác đều \( \triangle ABC \) có cạnh 2 cm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0) \). Điểm \( B \) có tọa độ \( (2, 0) \) vì \( AB = 2 \). Điểm \( C \) nằm trên đường tròn có tâm \( A \) và bán kính 2, đồng thời \( C \) cũng nằm trên đường tròn có tâm \( B \) và bán kính 2. Do tam giác đều, góc \( \angle BAC = 60^\circ \). Tọa độ điểm \( C \) có thể được xác định bằng cách sử dụng công thức tọa độ trong hệ trục tọa độ: \[ C = \left(2 \cos 60^\circ, 2 \sin 60^\circ\right) = \left(1, \sqrt{3}\right) \] 2. Tính các vector: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 0, 0 - 0) = (2, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1 - 0, \sqrt{3} - 0) = (1, \sqrt{3}) \] 3. Tính tổng của hai vector: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (2, 0) + (1, \sqrt{3}) = (3, \sqrt{3}) \] 4. Tính độ dài của vector tổng: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] 5. Làm tròn kết quả: Giá trị \( 2\sqrt{3} \approx 3.46 \) (làm tròn đến hàng phần trăm). Vậy, độ dài của vector tổng \( |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| \) là khoảng \( 3.46 \) cm. Câu 7: Để tính $|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}|$, trước tiên ta cần xác định các vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$. 1. Xác định vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$: - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có độ dài bằng độ dài đoạn thẳng $AC$, tức là $|\overrightarrow{AC}| = 4$. - Vectơ $\overrightarrow{BA}$ có độ dài bằng độ dài đoạn thẳng $AB$, tức là $|\overrightarrow{BA}| = 3$. 2. Tính tổng của hai vectơ: Ta có $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}$, vì $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai cạnh của tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại $A$. 3. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC}$: Do $\Delta ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagore, ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Suy ra $BC = \sqrt{25} = 5$. 4. Kết luận: Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$ là $|\overrightarrow{BC}| = 5$. Vậy $|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}| = 5$. Câu 8: Để tính độ dài \( |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}| \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm của hình vuông: Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0) \). Vì \( ABCD \) là hình vuông cạnh 2 cm, ta có thể xác định tọa độ các điểm còn lại như sau: - \( B(2, 0) \) - \( C(2, 2) \) - \( D(0, 2) \) 2. Tính các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DA}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (2 - 0, 0 - 0) = (2, 0)\) - Vectơ \(\overrightarrow{DA} = (0 - 0, 0 - 2) = (0, -2)\) 3. Tính hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} = (2, 0) - (0, -2) = (2 - 0, 0 - (-2)) = (2, 2) \] 4. Tính độ dài của vectơ \(|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}|\): Độ dài của vectơ \((2, 2)\) được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Vậy, độ dài \( |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}| \) là \( 2\sqrt{2} \) cm. Câu 9: Để tính $|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}|$, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ cần thiết: - Vectơ $\overrightarrow{BC}$: Trong hình chữ nhật, $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài và hướng với $\overrightarrow{AD}$, do đó $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$. - Vectơ $\overrightarrow{BA}$: Vectơ này có cùng độ dài và hướng ngược lại với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. 2. Tính tổng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \] 3. Biểu diễn vectơ theo tọa độ: Giả sử điểm $A$ có tọa độ $(0, 0)$, thì: - Điểm $B$ có tọa độ $(4, 0)$, do đó $\overrightarrow{AB} = (4, 0)$. - Điểm $D$ có tọa độ $(0, 3)$, do đó $\overrightarrow{AD} = (0, 3)$. Vậy: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = (0, 3) \] \[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (-4, 0) \] 4. Tính tổng vectơ theo tọa độ: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = (0, 3) + (-4, 0) = (-4, 3) \] 5. Tính độ dài của vectơ tổng: Độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$ là: \[ |\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Vậy, $|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}| = 5~cm$. Câu 10: Để tìm hoành độ của điểm \( B \), ta sử dụng tính chất của trung điểm. Trung điểm \( I(x_I, y_I) \) của đoạn thẳng \( AB \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \] \[ y_I = \frac{y_A + y_B}{2} \] Với \( A(3, 5) \) và \( I(2, \frac{7}{2}) \), ta có: 1. Tính hoành độ của \( B \): \[ x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow 2 = \frac{3 + x_B}{2} \] Giải phương trình trên: \[ 2 \times 2 = 3 + x_B \Rightarrow 4 = 3 + x_B \Rightarrow x_B = 4 - 3 = 1 \] 2. Kiểm tra điều kiện với tung độ: \[ y_I = \frac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow \frac{7}{2} = \frac{5 + y_B}{2} \] Giải phương trình trên: \[ 7 = 5 + y_B \Rightarrow y_B = 7 - 5 = 2 \] Vậy tọa độ của điểm \( B \) là \( B(1, 2) \). Kết luận: Hoành độ của điểm \( B \) là \( 1 \). Câu 11: Ta có: \[ \begin{array}{l} \overrightarrow w = m\overrightarrow u + n\overrightarrow v \\ (-2;21) = m(1;3) + n(2;-3) \\ (-2;21) = (m + 2n; 3m - 3n) \end{array} \] Suy ra: \[ \left\{ \begin{array}{l} m + 2n = -2 \\ 3m - 3n = 21 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} m = 6 \\ n = -4 \end{array} \right. \] Vậy giá trị của \( m \) là 6. Câu 12: Để tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{c}\), trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của \(\overrightarrow{c}\). Cho \(\overrightarrow{a} = (1; 2)\) và \(\overrightarrow{b} = (3; 4)\). Ta có: \[ \overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \] Tính \(4\overrightarrow{a}\): \[ 4\overrightarrow{a} = 4 \times (1; 2) = (4 \times 1; 4 \times 2) = (4; 8) \] Tính \(\overrightarrow{c}\): \[ \overrightarrow{c} = (4; 8) - (3; 4) = (4 - 3; 8 - 4) = (1; 4) \] Bây giờ, ta tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{c}\): \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ \sqrt{17} \approx 4.12 \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{c}\) là khoảng \(4.12\).