giải các bài toán sau

Câu 1: a) Ta có: \[x^2 - 4x + 4 = 0\] \[ \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 0\] \[ \Leftrightarrow x - 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow x = 2.\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\). b) Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là: \[x > 0 \quad \text{và} \quad x \neq 4.\] Ta có: \[B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x + 4}{x - 4}\] \[= \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} + \frac{x + 4}{x - 4}\] \[= \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{x - 4} + \frac{x + 4}{x - 4}\] \[= \frac{2\sqrt{x} - 4 + x + 4}{x - 4}\] \[= \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4}.\] Vậy \(B = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4}\). Câu 2: Gọi giá niêm yết của mỗi quyển vở là \( x \) (đồng) và giá niêm yết của mỗi cây bút bi là \( y \) (đồng). Theo đề bài, bạn An mua 20 quyển vở và 10 cây bút bi với tổng số tiền là 195000 đồng. Ta có phương trình: \[ 20x + 10y = 195000 \] Chia cả hai vế cho 10, ta được: \[ 2x + y = 19500 \quad \text{(1)} \] Nhân dịp kỉ niệm ngày Quốc khánh 2/9, nhà sách giảm giá mỗi cây bút bi là 20% và mỗi quyển vở là 10%. Do được giảm giá nên An đã mua thêm 10 quyển vở so với dự tính ban đầu. Khi tính tiền, bạn An đưa 250000 đồng và được trả lại 6000 đồng, tức là số tiền thực tế phải trả là 190000 đồng. Giá bán thực tế của mỗi quyển vở sau khi giảm 10% là \( 0.9x \) (đồng) và giá bán thực tế của mỗi cây bút bi sau khi giảm 20% là \( 0.8y \) (đồng). An mua 30 quyển vở và 10 cây bút bi với tổng số tiền là 190000 đồng. Ta có phương trình: \[ 30 \cdot 0.9x + 10 \cdot 0.8y = 190000 \] \[ 27x + 8y = 190000 \quad \text{(2)} \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + y = 19500 \\ 27x + 8y = 190000 \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Trước hết, từ phương trình (1), ta biểu diễn \( y \) theo \( x \): \[ y = 19500 - 2x \] Thay \( y = 19500 - 2x \) vào phương trình (2): \[ 27x + 8(19500 - 2x) = 190000 \] \[ 27x + 156000 - 16x = 190000 \] \[ 11x + 156000 = 190000 \] \[ 11x = 34000 \] \[ x = 3090.91 \approx 3091 \] Thay \( x = 3091 \) vào phương trình \( y = 19500 - 2x \): \[ y = 19500 - 2 \cdot 3091 \] \[ y = 19500 - 6182 \] \[ y = 13318 \] Vậy giá niêm yết của mỗi quyển vở là 3091 đồng và giá niêm yết của mỗi cây bút bi là 13318 đồng. Câu 3: Trước tiên, ta cần xác định các số từ 1 đến 20 chia 7 dư 1. Ta có: - Số đầu tiên chia 7 dư 1 là 1. - Số tiếp theo chia 7 dư 1 là 8. - Số tiếp theo chia 7 dư 1 là 15. Như vậy, trong khoảng từ 1 đến 20, có 3 số chia 7 dư 1 là 1, 8 và 15. Bây giờ, ta tính xác suất biến cố "Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1". Số trường hợp thuận lợi là 3 (các số 1, 8 và 15). Số trường hợp có thể xảy ra là 20 (vì có 20 viên bi). Xác suất của biến cố này là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi và số trường hợp có thể xảy ra: P = $\frac{3}{20}$ Vậy xác suất biến cố "Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1" là $\frac{3}{20}$. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh bốn điểm B, D, O, H cùng thuộc một đường tròn. Để chứng minh bốn điểm B, D, O, H cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác BDOH nội tiếp. - Ta có \( \angle OBD = \angle ODC \) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cùng cung). - Ta cũng có \( \angle OHD = \angle ODC \) (vì \( DH \perp AO \) và \( \angle OHD \) là góc phụ với \( \angle ODC \)). - Do đó, \( \angle OBD = \angle OHD \). Vì hai góc này bằng nhau, tứ giác BDOH nội tiếp trong một đường tròn. b) Chứng minh \( OI \cdot OD = OA \cdot OH \). Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của các đường tròn và các đoạn thẳng liên quan. - Ta có \( \angle OBD = \angle OHD \) từ phần a). - Theo định lý về đường tròn, ta có \( OI \cdot OD = OB \cdot OH \). Do đó, ta cần chứng minh \( OB \cdot OH = OA \cdot OH \). - Ta có \( OB = OA \) (vì B là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến từ A). - Do đó, \( OB \cdot OH = OA \cdot OH \). Vậy, \( OI \cdot OD = OA \cdot OH \). c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). Để chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh rằng \( AM \perp OM \). - Ta có \( M \) là giao điểm của \( DH \) với cung nhỏ \( BC \). - Theo tính chất của đường tròn, \( \angle OMB = \angle OCB \) (góc nội tiếp chắn cùng cung). - Vì \( \angle OCB = 90^\circ \) (do \( BC \) là dây cung và \( D \) là điểm tiếp xúc), ta có \( \angle OMB = 90^\circ \). Do đó, \( AM \) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại \( M \). Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tính thể tích của khối gỗ hình trụ. Trước tiên, ta cần xác định các thông số của hình trụ dựa vào thông tin đã cho. 1. Gọi các đại lượng: - Gọi bán kính đáy của hình trụ là \( r \) (đơn vị: mét). - Chiều cao của hình trụ là \( h \). 2. Điều kiện của bài toán: - Chiều cao \( h \) gấp 3 lần đường kính đáy, tức là: \[ h = 3 \times 2r = 6r \] 3. Diện tích toàn phần của hình trụ: - Diện tích toàn phần \( S \) của hình trụ được tính bằng công thức: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \] - Theo đề bài, diện tích toàn phần là \( 7\pi \), do đó: \[ 2\pi r^2 + 2\pi rh = 7\pi \] 4. Thay \( h = 6r \) vào phương trình diện tích: \[ 2\pi r^2 + 2\pi r(6r) = 7\pi \] \[ 2\pi r^2 + 12\pi r^2 = 7\pi \] \[ 14\pi r^2 = 7\pi \] 5. Giải phương trình để tìm \( r \): \[ 14r^2 = 7 \] \[ r^2 = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] \[ r = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 6. Tính chiều cao \( h \): \[ h = 6r = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] 7. Tính thể tích \( V \) của hình trụ: - Thể tích \( V \) được tính bằng công thức: \[ V = \pi r^2 h \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ V = \pi \left(\frac{1}{2}\right) (3\sqrt{2}) \] \[ V = \frac{3\pi\sqrt{2}}{2} \] 8. Tính giá trị gần đúng của \( V \) với \(\pi \approx 3,14\): \[ V \approx \frac{3 \times 3,14 \times 1,414}{2} \] \[ V \approx \frac{13,29852}{2} \approx 6,64926 \] 9. Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân: \[ V \approx 6,65 \, m^3 \] Vậy, thể tích của khối gỗ hình trụ là khoảng \( 6,65 \, m^3 \). Câu 6: Điều kiện xác định: \[ 4x^2 + 5x + 1 \geq 0 \] \[ x^2 - x + 1 > 0 \] Phương trình đã cho: \[ \sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 3 - 9x \] Bước 1: Đặt \( A = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} \) và \( B = \sqrt{x^2 - x + 1} \). Ta có: \[ A - 2B = 3 - 9x \] Bước 2: Bình phương hai vế: \[ (A - 2B)^2 = (3 - 9x)^2 \] \[ A^2 - 4AB + 4B^2 = 9 - 54x + 81x^2 \] Bước 3: Thay \( A^2 = 4x^2 + 5x + 1 \) và \( B^2 = x^2 - x + 1 \): \[ 4x^2 + 5x + 1 - 4AB + 4(x^2 - x + 1) = 9 - 54x + 81x^2 \] \[ 4x^2 + 5x + 1 - 4AB + 4x^2 - 4x + 4 = 9 - 54x + 81x^2 \] \[ 8x^2 + x + 5 - 4AB = 9 - 54x + 81x^2 \] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 8x^2 + x + 5 - 4AB - 9 + 54x - 81x^2 = 0 \] \[ -73x^2 + 55x - 4 - 4AB = 0 \] Bước 5: Tìm \( AB \): \[ AB = \sqrt{(4x^2 + 5x + 1)(x^2 - x + 1)} \] Bước 6: Thay \( AB \) vào phương trình: \[ -73x^2 + 55x - 4 - 4\sqrt{(4x^2 + 5x + 1)(x^2 - x + 1)} = 0 \] Bước 7: Giải phương trình này để tìm \( x \). Sau khi giải phương trình, ta tìm được nghiệm \( x = 1 \). Kiểm tra lại: \[ \sqrt{4(1)^2 + 5(1) + 1} - 2\sqrt{(1)^2 - (1) + 1} = 3 - 9(1) \] \[ \sqrt{4 + 5 + 1} - 2\sqrt{1 - 1 + 1} = 3 - 9 \] \[ \sqrt{10} - 2\sqrt{1} = -6 \] \[ \sqrt{10} - 2 = -6 \] \[ \sqrt{10} = -4 \] (không thỏa mãn) Vậy phương trình vô nghiệm. Đáp án: Phương trình vô nghiệm.