Cho hình bình hành ABCD. Đường chéo BD từ A kẻ AK vuông góc với BD, từ C kẻ CH vuông góc với BD. Chứng minh : DK = BH

Question

Cho hình bình hành ABCD.  Đường chéo BD từ A kẻ AK vuông góc với BD, từ C kẻ CH vuông góc với BD. Chứng minh :  DK = BH

DuyBach · Accepted Answer

Gọi O là giao của AC và BD.
Vì ABCD là hình bình hành nên AO=OC; BO=OD.
Xét tam giác AOK và tam giác COH có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{AKO} =\widehat{CHO} =90^{0}\
\widehat{AOK} =\widehat{HOC} \ ( \ 2\ góc\ đối\ đỉnh)\
AO=OC
\end{array}$
Suy ra tam giác AOK= tam giác COH ( cạnh huyền- góc nhọn )
Suy ra OK=OH;
Lại có OB=OD Suy ra DK=BH

Timi · Answer

Trong hình bình hành ABCD, ta có:

- Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại E.
- Từ A kẻ AK vuông góc với BD tại K.
- Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H.

Ta cần chứng minh DK = BH.

Bước 1: Chứng minh tam giác AKE và tam giác CHE đồng dạng.

- Ta có ∠AKE = ∠CHE (do cùng chung góc).
- Và ∠AKD = ∠CHB (do cùng vuông góc với BD).
- Vậy nên, tam giác AKE đồng dạng với tam giác CHE (theo nguyên lý hai góc bằng nhau).

Bước 2: Từ sự đồng dạng của hai tam giác, suy ra DK = BH.

- Do tam giác AKE đồng dạng với tam giác CHE nên ta có tỷ số các cạnh tương ứng bằng nhau, tức là AK/AE = CH/CE.
- Nhưng trong hình bình hành ABCD, ta có AE = CE (do là trung điểm của đường chéo BD).
- Vậy nên, AK = CH.
- Do đó, DK = DB - AK = DB - CH = BH.

Vậy, DK = BH.