giúp mình với

Bài 3. a) Đặt $x = \frac{p}{q}$ và $y = \frac{r}{s}$ (với p, q, r, s là số nguyên tố cùng nhau và q, s > 0), ta có: $x+y+\frac1x+\frac1y = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} + \frac{q}{p} + \frac{s}{r} = \frac{2^k}{1}$ Sau khi đưa về chung mẫu, ta được: $ps^2 + qr^2 + pqrs = 2^k * pqr * sq$ Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là $ps^2 + qr^2$ phải chia hết cho $pqr * sq$, tức là $ps^2 + qr^2 = 2^k * pqr * sq$. Vì vậy, các số hữu tỉ dương x, y thỏa mãn điều kiện trên là các số có dạng $\frac{p}{q}$ và $\frac{r}{s}$ sao cho $ps^2 + qr^2 = 2^k * pqr * sq$. b) Đặt $x = u + 2$ và $y = v - 6$, ta có: $B = (u+2)(v-6)(u)(v) + 12(u+2)^2 - 24(u+2) + 3(v-6)^2 + 18(v-6) + 2053$ = $uv(uv - 6u + 2v - 12) + 12u^2 + 48u + 144 - 24u - 48 + 3v^2 + 36v + 108 - 18v - 108 + 2053$ = $uv^2 - 6u^2 + 2uv - 12uv + 12u^2 + 48u + 96 + 3v^2 + 18v + 2053$ = $uv^2 - 4u^2 + 2uv - 12uv + 48u + 96 + 3v^2 + 18v + 2053$ = $(u-2v)^2 + 48u + 96 + 3v^2 + 18v + 2053$ Vì $(u-2v)^2 \geq 0$ nên giá trị nhỏ nhất của B là khi $(u-2v)^2 = 0$, tức là u = 2v. Thay u = 2v vào, ta được B = $48*2v + 96 + 3v^2 + 18v + 2053 = 6v^2 + 114v + 2149$. Đạo hàm của hàm số trên bằng 0 tại v = -19/2. Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi v = -19/2, tức là B = $6*(-19/2)^2 + 114*(-19/2) + 2149 = 2144$. Bài 4. a) Đặt $x = a - 2$ và $y = b - 1$, ta có: $2x^2+3y^2+4x=19$ $2(a - 2)^2 + 3(b - 1)^2 + 4(a - 2) = 19$ $2a^2 - 8a + 8 + 3b^2 - 6b + 3 + 4a - 8 = 19$ $2a^2 + 4a + 3b^2 - 6b + 3 = 19$ $a^2 + 2a + b^2 - 2b + 1 = 10$ $(a + 1)^2 + (b - 1)^2 = 10$ Vì a, b là số nguyên nên $(a + 1)^2 + (b - 1)^2 = 10$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi a = 2, b = 3 hoặc a = -3, b = 2. Vậy x, y thỏa mãn phương trình trên là x = 0, y = 2 hoặc x = -5, y = 3. b) Đặt $x = a + 2021$ và $y = b - 2022$, ta có: $x^2-xy-2021x+2022y-2023=0$ $(a + 2021)^2 - (a + 2021)(b - 2022) - 2021(a + 2021) + 2022(b - 2022) - 2023 = 0$ $a^2 + 4042a + 4088441 - ab + 2022a - 2021b + 4088442 - 2023 = 0$ $a^2 - ab + 6064a - 2021b + 8176880 = 0$ Để phương trình trên có nghiệm nguyên, a và b phải thỏa mãn điều kiện sau: $a(a - b + 6064) = 2021b - 8176880$ Vì a, b là số nguyên nên a - b + 6064 cũng là số nguyên. Vậy x, y thỏa mãn phương trình trên là các số nguyên a, b thỏa mãn $a(a - b + 6064) = 2021b - 8176880$. Bài 5. a) Đặt $a = u + \sqrt{5}$ và $b = v - \sqrt{10}$, ta có: $a^3-3ab^2=5$ $(u + \sqrt{5})^3 - 3(u + \sqrt{5})(v - \sqrt{10})^2 = 5$ $u^3 + 3u^2\sqrt{5} + 15u + 75\sqrt{5} - 3uv^2 + 6u\sqrt{10}v + 30v - 90\sqrt{10} = 5$ $u^3 - 3uv^2 + 15u + 30v = -70\sqrt{5} + 6u\sqrt{10}v - 90\sqrt{10}$ Vì u, v là số nguyên nên $-70\sqrt{5} + 6u\sqrt{10}v - 90\sqrt{10}$ cũng phải là số nguyên. Vậy a, b thỏa mãn phương trình trên là các số có dạng $u + \sqrt{5}$ và $v - \sqrt{10}$ sao cho $-70\sqrt{5} + 6u\sqrt{10}v - 90\sqrt{10}$ là số nguyên. b) Đặt $m = 2n^2 + k$ (với k là số nguyên), ta có: $n^2+m = n^2 + 2n^2 + k = 3n^2 + k$ Để $3n^2 + k$ không là số chính phương, k phải khác 0 và không phải là một lũy thừa của 3. Vậy n, m thỏa mãn điều kiện trên là các số nguyên n, m sao cho m = 2n^2 + k với k khác 0 và không phải là một lũy thừa của 3. Bài 6. a) Đặt $x = u + 1$ và $y = v + 1$, ta có: $3(x^2-1)=2(y^2-1)$ $3(u + 1)^2 - 3 = 2(v + 1)^2 - 2$ $3u^2 + 6u + 3 - 3 = 2v^2 + 4v + 2 - 2$ $3u^2 + 6u = 2v^2 + 4v$ $u^2 + 2u = v^2 + 2v$ $(u + 1)^2 = (v + 1)^2$ Vì u, v là số nguyên nên $(u + 1)^2 = (v + 1)^2$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi u = v hoặc u = -v - 2. Vậy x, y thỏa mãn đẳng thức trên là các số nguyên x, y sao cho x - y hoặc x + y + 2 chia hết cho 40. b) Đặt $a = u + 1$, $b = v + 1$ và $c = w + 1$, ta có: $a+b+c=3$ $u + v + w + 3 = 3$ $u + v + w = 0$ Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi u = v = w = 0, tức là P = $(0 - 1)^3 + (0 - 1)^3 + (0 - 1)^3 = -3$.