điều trị bệnh B bằng phương pháp 1 và phương pháp 2. Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 1 và phương pháp 2 lần lượt là 0,8; 0,9. Biết số người điều trị bệnh bằng phương pháp 1 gấp đôi số ngườ...

Bài toán: Chúng ta có phương pháp 1 và phương pháp 2 để điều trị bệnh B. Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 1 và phương pháp 2 lần lượt là 0,8 và 0,9. Biết số người điều trị bệnh bằng phương pháp 1 gấp đôi số người điều trị bằng phương pháp 2. 1) Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân đang điều trị bệnh B, tính xác suất để bệnh nhân điều trị khỏi bệnh? Để tính xác suất này, chúng ta sử dụng công thức tổng xác suất (total probability). Ta có: Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 1: P(A1) = 0,8 Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 2: P(A2) = 0,9 Vì số người điều trị bằng phương pháp 1 gấp đôi số người điều trị bằng phương pháp 2, ta có: Số người điều trị bằng phương pháp 1: n1 = 2 Số người điều trị bằng phương pháp 2: n2 = 1 Từ đó, ta có tổng xác suất điều trị khỏi bệnh: P(A) = P(A1) * P(B|A1) + P(A2) * P(B|A2) = 0,8 * (n1 / (n1 + n2)) + 0,9 * (n2 / (n1 + n2)) Thay vào giá trị của n1 và n2, ta tính được: P(A) = 0,8 * (2 / (2 + 1)) + 0,9 * (1 / (2 + 1)) = 0,8 * (2 / 3) + 0,9 * (1 / 3) = 0,5333333333333333 + 0,3 = 0,8333333333333333 Vậy xác suất để một bệnh nhân điều trị khỏi bệnh là 0,8333333333333333. 2) Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân điều trị bệnh B, giả sử bệnh nhân không khỏi bệnh, tính xác suất để bệnh nhân điều trị bằng phương pháp 1. Để tính xác suất này, chúng ta sử dụng công thức Bayes. Ta có: Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 1: P(A1) = 0,8 Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 2: P(A2) = 0,9 Vì số người điều trị bằng phương pháp 1 gấp đôi số người điều trị bằng phương pháp 2, ta có: Số người điều trị bằng phương pháp 1: n1 = 2 Số người điều trị bằng phương pháp 2: n2 = 1 Từ đó, ta có: P(B|A1) = (n1 / (n1 + n2)) * P(A1) = (2 / (2 + 1)) * 0,8 = 0,5333333333333333 P(B|A2) = (n2 / (n1 + n2)) * P(A2) = (1 / (2 + 1)) * 0,9 = 0,3 Áp dụng công thức Bayes, ta tính được: P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / (P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2)) = (0,5333333333333333 * 0,8) / (0,5333333333333333 * 0,8 + 0,3 * 0,9) = 0,42666666666666664 / (0,42666666666666664 + 0,27) = 0,42666666666666664 / 0,6966666666666667 = 0,6122448979591836 Vậy xác suất để một bệnh nhân điều trị bằng phương pháp 1 khi biết rằng bệnh nhân không khỏi bệnh là 0,6122448979591836. 3) Chọn ngẫu nhiên 10 bệnh nhân điều trị bệnh B, tính xác suất có 8 bệnh nhân điều trị khỏi bệnh. Để tính xác suất này, chúng ta sử dụng công thức xác suất nhị thức (binomial probability). Ta có: Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 1: P(A1) = 0,8 Xác suất điều trị khỏi bệnh bằng phương pháp 2: P(A2) = 0,9 Vì số người điều trị bằng phương pháp 1 gấp đôi số người điều trị bằng phương pháp 2, ta có: Số người điều trị bằng phương pháp 1: n1 = 2 Số người điều trị bằng phương pháp 2: n2 = 1 Từ đó, ta có: P(B|A1) = (n1 / (n1 + n2)) * P(A1) = (2 / (2 + 1)) * 0,8 = 0,5333333333333333 P(B|A2) = (n2 / (n1 + n2)) * P(A2) = (1 / (2 + 1)) * 0,9 = 0,3 Áp dụng công thức xác suất nhị thức, ta tính được: P(X = 8) = C(10, 8) * (P(B|A1))^8 * (1 - P(B|A1))^(10 - 8) = C(10, 8) * (0,5333333333333333)^8 * (1 - 0,5333333333333333)^(10 - 8) = 45 * (0,5333333333333333)^8 * (1 - 0,5333333333333333)^(10 - 8) = 45 * 0,2907100492017224 * 0,2907100492017224 = 0,2907100492017224 Vậy xác suất để có 8 bệnh nhân điều trị khỏi bệnh trong 10 bệnh nhân là 0,2907100492017224.