Chứng minh F(x) = x ln x là nguyên hàm của f(x) = ln x +1 trên khoảng (0;+vô cùng)

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán mà chúng ta đang giải quyết. Đây là một bài toán về tích phân, cụ thể là việc tìm nguyên hàm của một hàm số. Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x). Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của một tích, cũng như công thức đạo hàm của hàm logarithm tự nhiên. Bước 1: Xác định hàm số và viết công thức đạo hàm của một tích Hàm số đã cho là $F(x) = x \ln x$ và chúng ta muốn chứng minh rằng đạo hàm của nó bằng $f(x) = \ln x + 1$. Quy tắc đạo hàm của một tích cho chúng ta biết rằng $(u.v)' = u'.v + u.v'$, nơi u và v là hai hàm số khác nhau. Bước 2: Tính đạo hàm của $F(x)$ Chúng ta có $u = x$ và $v = \ln x$. Do đó, $u' = 1$ và $v' = \frac{1}{x}$. Sử dụng quy tắc đạo hàm của một tích, chúng ta có: $F'(x) = u'.v + u.v' = 1.\ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1 = f(x)$ Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $F(x) = x \ln x$ là nguyên hàm của $f(x) = \ln x + 1$ trên khoảng $(0;+\infty)$.