Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng nguyên lý phân loại và quy tắc nhân. Đầu tiên, chúng ta xét các viên bi đen. Vì có 3 viên bi đen khác nhau, chúng ta có thể sắp xếp chúng theo $$ cách (3 giai thừa). Tiếp theo, chúng ta xét các viên bi đỏ. Vì có 4 viên bi đỏ khác nhau, chúng ta có thể sắp xếp chúng theo $$ cách. Cuối cùng, chúng ta xét các viên bi xanh. Vì có 5 viên bi xanh khác nhau, chúng ta có thể sắp xếp chúng theo $$ cách. Tổng cộng, số cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là tích của số cách sắp xếp các viên bi đen, đỏ và xanh. Do đó, ta có: $$ Để tính giá trị này, ta có thể tính từng giai thừa rồi nhân lại với nhau: $$ Vậy, có tổng cộng 103680 cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau.