Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O). Điểm M di động trên tia Bx (M khác B), AM cắt nửa
đường tròn (O) tại điểm N ( N khác A) . Kẻ OE ⊥ AN tại E .
a) Chứng minh các điểm E , O , B , M cùng thuộc đường tròn đường kính OM .
b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại N cắt tia OE tại K và cắt MB tại D. Chứng minh KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
c) Chứng minh KA.DB không đổi khi điểm M di động trên tia Bx .
d) Gọi H là giao điểm của AB và DK , kẻ OF ⊥ AB ( F ∈ DK ). Chứng minh BD/DF + DF/HF =1

Question

babegirl · Accepted Answer

a.
Ta có:
$\displaystyle \widehat{OEM} =90^{o}( OE\bot AN)$
$\displaystyle \widehat{OBM} =90^{o}$ (Bx là tiếp tuyến)
Tứ giác OBME có:
$\displaystyle \widehat{OEM} +\widehat{OBM} =180^{o}$
Mà đây là 2 góc đối của tứ giác
Suy ra OBME là tứ giác nội tiếp
Suy ra 4 điểm E,O,M,B cùng thuộc 1 đường tròn
b.
Ta có:
OA=ON suy ra tam giác OAN cân tại O
CÓ OE là đường cao, suy ra OE là phân giác của góc O
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AOK} =\widehat{NOK}$
Xét 2 tam giác AOK và NOK có:
OA=ON
OK chung
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{AOK} =\widehat{NOK}\
\Rightarrow \vartriangle AOK=\vartriangle NOK( c.g.c)\
\Rightarrow \widehat{OAK} =\widehat{ONK} =90^{o}\
\Rightarrow OA\bot AK
\end{array}$
Suy ra AK là tiếp tuyến của (O)
c.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\vartriangle AOK=\vartriangle NOK\
\Rightarrow KA=KN
\end{array}$
BD, ND là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D của (O)
Suy ra DN=DB; OD là phân giác của góc NOB
OK là phân giác của góc AON
Mà góc AON và NOB là 2 góc kề bù
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{KOD} =90^{o}$ (2 tia phân giác của 2 góc kề bù)
Trong tam giác KOD vuông tại O, đường cao ON có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
ON^{2} =KN.ND\
\Rightarrow ON^{2} =KA.DB
\end{array}$
Mà ON là bán kính của (O) nên KA.DB không đổi

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O). Điểm M di động trên tia Bx (M khác B), AM cắt nửa...