Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O). Điểm M di động trên tia Bx (M khác B), AM cắt nửa...

Đây là một bài toán thuộc chương trình học phần hình học không gian trong chương trình học phổ thông. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần áp dụng các nguyên tắc và công thức của hình học, bao gồm các tính chất của đường tròn, tiếp tuyến, góc và tỷ lệ. a) Chứng minh các điểm E , O , B , M cùng thuộc đường tròn đường kính OM . Ta có $\angle OEB = 90^{\circ}$ (do OE ⊥ AB) và $\angle OMB = 90^{\circ}$ (do OB là bán kính, BM là tiếp tuyến). Vì vậy, E, O, B, M cùng nằm trên một đường tròn có đường kính OM (theo định lý: "Trên mặt phẳng, các điểm nằm trên cùng một đường tròn nếu và chỉ nếu góc giữa hai dây của đường tròn đó và qua điểm đó là góc vuông"). b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại N cắt tia OE tại K và cắt MB tại D. Chứng minh KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Do $\angle ONK = 90^{\circ}$ (do OK ⊥ AN) và $\angle OAK = 90^{\circ}$ (do OA là bán kính, AK là tiếp tuyến), nên KA là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Chứng minh KA.DB không đổi khi điểm M di động trên tia Bx . Do $\angle KAD = \angle KDA = 90^{\circ}$ (do KA, KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên $KA.DB = DA^{2} = constant$ (theo định lý: "Tích của hai dây của một đường tròn qua một điểm bất kỳ trên tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn bằng bình phương của dây đó"). d) Gọi H là giao điểm của AB và DK , kẻ OF ⊥ AB ( F ∈ DK ). Chứng minh BD/DF + DF/HF =1 Ta có $\triangle BDF \sim \triangle FHD$ (do $\angle BDF = \angle DFH = 90^{\circ}$ và $\angle DBF = \angle HDF$). Vì vậy, ta có $BD/DF = FH/HD$ và $DF/FH = HD/DF$. Cộng hai tỷ lệ này lại, ta được $BD/DF + DF/FH = 1$.