Cho đt (O,R) AB là đường kính . Lấy M là 1 điểm bất kì nằm trên đường tròn sao cho MAMB .tiếp tuyến tại M và B của đường tròn (O,R) cắt nhau tại D . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt DM tại C , cắt AM tại I .Kẻ MH vuông góc với AB . QUa O kể đt vuông góc với AB , cắt đường tròn (O,R) tại K . Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MHK lớn nhất 2) (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, R), AB là đường kính. Lấy M là một điểm bất kì nằm trên đường tròn,(O, R) sao cho $MAMB(M
e A,B).$ Tiếp tuyến tại M và B của đường tròn (O, R) cất nhau tại D. Qua,O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt tia DM tại C, cắt AM tại I.,a) (1,0 điểm) Chứng minh 4 điểm O, M, D, B cùng thuộc một đường tròn;,b) (1,5 điểm) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) và $AC^2=CM.CD-OI.OC:$,c) (0,5 điểm) Kẻ MH vuông góc với AB $(H\in AB).$ Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt đường,tròn (O, R) tại K (K và M nằm khác phía đối với đường thẳng AB). Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam,giác MHK lớn nhất.,------------------------------Hết------------------------------ -Hết-,(Cán bộ coi thì không giải thích gì thêm)

Question

Cho đt (O,R) AB là đường kính . Lấy M là 1 điểm bất kì nằm trên đường tròn sao cho MA>MB .tiếp tuyến tại M và B của đường tròn (O,R) cắt nhau tại D . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt DM tại C , cắt AM tại I .Kẻ MH vuông góc với AB . QUa O kể đt vuông góc với AB , cắt đường tròn (O,R) tại K . Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MHK lớn nhất 2) (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, R), AB là đường kính. Lấy M là một điểm bất kì nằm trên đường tròn,(O, R) sao cho $MA>MB(M
e A,B).$ Tiếp tuyến tại M và B của đường tròn (O, R) cất nhau tại D. Qua,O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt tia DM tại C, cắt AM tại I.,a) (1,0 điểm) Chứng minh 4 điểm O, M, D, B cùng thuộc một đường tròn;,b) (1,5 điểm) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) và $AC^2=CM.CD-OI.OC:$,c) (0,5 điểm) Kẻ  MH vuông góc với AB $(H\in AB).$ Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt đường,tròn (O, R) tại K (K và M nằm khác phía đối với đường thẳng AB). Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam,giác MHK lớn nhất.,------------------------------Hết------------------------------ -Hết-,(Cán bộ coi thì không giải thích gì thêm)

Dinhhaa · Accepted Answer

a.
Ta có:
$\displaystyle \widehat{OMD} +\widehat{OBD} =90^{o} +90^{o} =180^{o}$
Suy ra tứ giác OMDB tứ giác nội tiếp
Suy ra 4 điểm O,M,D,B cùng thuộc 1 đường tròn
b.
MD,BD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D của (O)
Suy ra DM=DB;OM=ON
Suy ra OD là trung trực của MB
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
OD\bot MB\
AM\bot MB\left(\widehat{AMB} =90^{o} ight)\
\Rightarrow AM//OD\
OC\bot OD\
\Rightarrow OC\bot AM
\end{array}$
Tam giác OAM cân tại O, có OC là đường cao nên đồng thời là đường phân giác
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AOC} =\widehat{MOC}$
Xét 2 tam giác AOC và MOC có:
OC chung
OA=OM
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{AOC} =\widehat{MOC}\
\Rightarrow \vartriangle AOC=\vartriangle MOC( c.g.c)\
\Rightarrow \widehat{OAC} =\widehat{OMC} =90^{o}\
\Rightarrow OA\bot AC
\end{array}$
Suy ra AC là tiếp tuyến của (O)
Ta có: OC là phân giác của góc AOM
OD là phân giác của góc MOB
$\displaystyle \widehat{AOM} +\widehat{MOB} =180^{o}$ (2 góc kề bù)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{COD} =90^{o}$ (2 tia phân giác của 2 góc kề bù)
Trong tam giác COD vuông tại O, đường cao OM có:
$\displaystyle OC^{2} =CM.CD$
AC và CM là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C của (O)
Suy ra CA=CM hay OC là trung trực của AM
$\displaystyle \Rightarrow AI\bot OC$
Xét tam giác OAC vuông tại A, đường cao AI có:
$\displaystyle OA^{2} =OI.OC$
Tam giác OAC vuông tại A
$\displaystyle AC^{2} =OC^{2} -OA^{2} =CM.CD-OI.OC$

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán hình học trong đó chúng ta cần tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MHK lớn nhất. Các bước giải quyết bài toán này là:
   a) Chứng minh rằng 4 điểm O, M, D, B cùng thuộc một đường tròn.
   b) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) và tính giá trị của $AC^2$.
   c) Kẻ MH vuông góc với AB và kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AB để tìm vị trí của điểm K trên đường tròn (O, R). Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MHK lớn nhất.

2. Giải quyết từng bước:
   a) Để chứng minh rằng 4 điểm O, M, D, B cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Vì MA > MB, nên góc MOB là góc ngoại tiếp của tam giác MAB. Do đó, góc MOB = góc MDB. Nhưng góc MDB là góc nội tiếp của tam giác MDB, nên 4 điểm O, M, D, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R), ta sử dụng tính chất của góc tiếp tuyến và góc nội tiếp. Vì AC vuông góc với OD (do đường thẳng OC là đường thẳng vuông góc với OD), nên góc ACO là góc tiếp tuyến của đường tròn (O, R). Từ đó, ta có góc ACO = góc OCA = góc OCB (do OC là đường thẳng vuông góc với AB). Do đó, tam giác OCB cân tại O và góc OCB = góc OBC. Nhưng góc OBC là góc nội tiếp của tam giác OBD, nên góc OBC = góc ODB. Từ đó, ta có góc ACO = góc ODB. Nhưng góc ODB là góc nội tiếp của tam giác MDB, nên góc ACO = góc MDB. Do đó, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R).

Để tính giá trị của $AC^2$, ta sử dụng định lý hình học Pythagoras trong tam giác vuông OAC. Ta có $OC^2 = OA^2 - AC^2$. Nhưng $OA = R$ (vì AB là đường kính của đường tròn (O, R)), nên $OC^2 = R^2 - AC^2$. Từ đó, ta có $AC^2 = R^2 - OC^2$.

Để tính giá trị của $OC$, ta sử dụng định lý hình học Pythagoras trong tam giác vuông OCD. Ta có $OD^2 = OC^2 + CD^2$. Nhưng $OD = R$ (vì OD là bán kính của đường tròn (O, R)), nên $R^2 = OC^2 + CD^2$. Từ đó, ta có $OC^2 = R^2 - CD^2$.

Thay giá trị của $OC^2$ vào công thức $AC^2 = R^2 - OC^2$, ta có $AC^2 = R^2 - (R^2 - CD^2) = CD^2$.

Để tính giá trị của $OI$, ta sử dụng định lý hình học Pythagoras trong tam giác vuông ODI. Ta có $OD^2 = OI^2 + ID^2$. Nhưng $OD = R$ (vì OD là bán kính của đường tròn (O, R)), nên $R^2 = OI^2 + ID^2$. Từ đó, ta có $OI^2 = R^2 - ID^2$.

Thay giá trị của $OI^2$ vào công thức $AC^2 = CM \cdot CD - OI \cdot OC$, ta có $CD^2 = CM \cdot CD - (R^2 - ID^2) \cdot OC$. Rút gọn, ta được $CD^2 + OC \cdot ID^2 = CM \cdot CD + R^2 \cdot OC$.

c) Để tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MHK lớn nhất, ta sử dụng tính chất của hình học. Diện tích tam giác MHK là $\frac{1}{2} \cdot MH \cdot HK$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $MH \cdot HK$.

Vì MH vuông góc với AB và HK vuông góc với OB, nên MH và HK là hai đoạn thẳng vuông góc với nhau. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $(MH \cdot HK)^2 \leq (MH^2 + HK^2) \cdot (MH^2 + HK^2)$.

Từ đó, ta có $MH \cdot HK \leq \sqrt{(MH^2 + HK^2) \cdot (MH^2 + HK^2)}$.

Nhưng $MH^2 + HK^2 = MB^2 + BK^2 = (MA - AB)^2 + (R - BM)^2$. Để tìm giá trị lớn nhất của $MH \cdot HK$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $(MA - AB)^2 + (R - BM)^2$.

Để tìm giá trị lớn nhất của $(MA - AB)^2 + (R - BM)^2$, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm cực trị. Tuy nhiên, việc tính toán đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 là khá phức tạp và không thể giải quyết trong phạm vi của bài này.

Vì vậy, để tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MHK lớn nhất, ta cần sử dụng phương pháp khác như sử dụng máy tính hoặc phần mềm đồ họa để vẽ đồ thị và tìm giá trị lớn nhất của $(MA - AB)^2 + (R - BM)^2$.

ZenoVn · Answer

{"userId":5159419,"userName":"khanh tran van"}

Để tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tam giác MHK là lớn nhất, ta cần xem xét các trường hợp khác nhau.

Trường hợp MA = MB:
Trong trường hợp này, M nằm trên đường tròn (O, R) và là trung điểm của cung AB. Khi đó, tam giác MHK là tam giác đều và có diện tích lớn nhất.
Trường hợp MA > MB:
Trong trường hợp này, M nằm bên trong đường tròn (O, R) và không phải là trung điểm của cung AB. Để tìm vị trí M để diện tích tam giác MHK là lớn nhất, ta cần xem xét các vị trí khác nhau của M.

Nếu M nằm trên cung lớn AB: Ta thấy khi M tiến gần đến A hoặc B, diện tích tam giác MHK sẽ giảm dần. Vì vậy, vị trí tốt nhất của M là khi M nằm giữa A và B trên cung lớn AB.
Nếu M nằm ngoài cung lớn AB: Ta thấy khi M tiến gần đến A hoặc B, diện tích tam giác MHK sẽ tăng dần. Vì vậy, vị trí tốt nhất của M là khi M nằm ngoài cung lớn AB.

Tóm lại, vị trí tốt nhất của M để diện tích tam giác MHK là lớn nhất là khi M nằm giữa A và B trên cung lớn AB.

Cho đt (O,R) AB là đường kính . Lấy M là 1 điểm bất kì nằm trên đường tròn sao cho MA>MB .tiếp tuyến tại M và B của đường tròn (O,R) cắt nhau tại D . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt DM tại C...