nếu a chia cho b dư 1 thì a^n chia cho b dư 1
chứng minh

Question

phuonglinh · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
a\vdots b\ dư\ 1\
\Longrightarrow a=k.b+1\
\Longrightarrow a^{2} =k^{2} .b^{2} +2kb+1\
k^{2} b^{2} \vdots b\
2kb\vdots b\
\Longrightarrow a^{2} -1\vdots b\
\Longrightarrow \ a^{2} \ chia\ b\ dư\ 1\
\end{array}$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng nếu a chia cho b dư 1 thì a^n chia cho b cũng dư 1, ta sẽ sử dụng phương pháp toán học gọi là chứng minh qua phép chia.

Giả sử a chia cho b dư 1, tức là có một số nguyên k sao cho:
a = kb + 1     (1)

Ta muốn chứng minh rằng a^n chia cho b cũng dư 1. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng định lý quy tắc chia của số nguyên để biểu diễn a^n dưới dạng của a và b.

Đầu tiên, ta biểu diễn a^n dưới dạng của a và b:
a^n = (kb + 1)^n

Tiếp theo, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để mở rộng biểu thức trên:
a^n = C(n,0)(kb)^n + C(n,1)(kb)^(n-1) + ... + C(n,n-1)(kb) + C(n,n)

Trong đó, C(n,k) là hệ số nhị thức Newton, được tính bằng công thức:
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

Lưu ý rằng với mọi số nguyên k từ 0 đến n-1, ta có (kb)^k chia hết cho b, do đó các thành phần này sẽ không ảnh hưởng đến phần dư khi chia cho b.

Vì vậy, ta chỉ quan tâm đến hai thành phần cuối cùng trong biểu thức trên:
C(n,n-1)(kb) + C(n,n)

Ta sẽ chứng minh rằng cả hai thành phần này đều chia hết cho b.

Đầu tiên, ta xem xét thành phần C(n,n-1)(kb):
C(n,n-1)(kb) = n! / ((n-1)!1!) * kb

Lưu ý rằng (n-1)!1! = (n-1)! và n! chia hết cho b. Vì vậy, ta có:
C(n,n-1)(kb) = n! / (n-1)! * kb = n * kb

Vì n và k là số nguyên, nên n * kb chia hết cho b.

Tiếp theo, ta xem xét thành phần C(n,n):
C(n,n) = n! / (n!0!) = 1

Vì 1 chia hết cho b, nên C(n,n) cũng chia hết cho b.

Từ đó, ta kết luận rằng cả hai thành phần C(n,n-1)(kb) và C(n,n) đều chia hết cho b.

Do đó, tổng của cả hai thành phần này cũng chia hết cho b:
C(n,n-1)(kb) + C(n,n) chia hết cho b.

Vì vậy, a^n cũng chia hết cho b:
a^n = (kb + 1)^n chia hết cho b.

Tuy nhiên, ta đã biết rằng a = kb + 1. Vì vậy, a^n cũng có thể được viết lại dưới dạng của a và b:
a^n = (a - 1)^n

Như vậy, ta có:
(a - 1)^n chia hết cho b.

Tuy nhiên, ta cũng biết rằng a chia cho b dư 1. Vì vậy, a - 1 cũng chia cho b dư 0.

Do đó, (a - 1)^n cũng chia cho b dư 0.

Tuy nhiên, ta đã chứng minh rằng (a - 1)^n chia hết cho b.

Vậy, ta kết luận rằng nếu a chia cho b dư 1 thì a^n chia cho b cũng dư 1.

nếu a chia cho b dư 1 thì a^n chia cho b dư 1 chứng minh