Để chuẩn bị cho hội khỏe phù đổng thầy huấn luyện viên của trường quyết định chia các nhóm để tập thì thầy thấy rằng: Nếu chia 2 người một nhóm hay 3 người 1 nhóm thì đủ còn nếu chia 5 người 1 nhóm thì...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phép chia lấy dư và phép tìm ước chung lớn nhất. Gọi số vận động viên trong đội tuyển là x. Theo đề bài, nếu chia 2 người một nhóm hay 3 người một nhóm thì đủ. Ta có thể viết thành phương trình như sau: x ≡ 0 (mod 2) (1) x ≡ 0 (mod 3) (2) Tương tự, nếu chia 5 người một nhóm thì lại dư ra 1 người: x ≡ 1 (mod 5) (3) Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng phép tìm ước chung lớn nhất. Từ phương trình (1) và (2), ta có thể viết lại thành: x ≡ 0 (mod 6) (4) Phương trình (4) và (3) tạo thành một hệ phương trình tương đương. Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phép tìm ước chung lớn nhất. Ta biết rằng ước chung lớn nhất của 6 và 5 là 1. Vì vậy, để giải hệ phương trình, chúng ta sẽ tìm số nguyên dương k sao cho: 6k ≡ 1 (mod 5) Để tìm k, chúng ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể thấy ngay k = 5 là một giải pháp. Vậy, ta có: k = 5 Thay k vào phương trình (4), ta có: x ≡ 0 (mod 6) x ≡ 5 (mod 5) Từ đó, ta có: x ≡ 30 (mod 30) Vậy, số vận động viên trong đội tuyển là 30 + 30k, trong đó k là số nguyên không âm. Tuy nhiên, theo đề bài, số vận động viên của mỗi đội từ 30 đến 40 người. Vì vậy, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho 30 + 30k nằm trong khoảng từ 30 đến 40. Ta có: 30 + 30k ≥ 30 30 + 30k ≤ 40 Từ đó, ta có: k ≥ 0 k ≤ 1/3 Vậy, giá trị nhỏ nhất của k là 0. Thay k = 0 vào x ≡ 30 (mod 30), ta có: x ≡ 30 (mod 30) Vậy, số vận động viên trong đội tuyển là 30 + 30k = 30 + 30(0) = 30. Vậy, số vận động viên trong đội tuyển là 36.