Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Question

Quyenphan · Accepted Answer

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (Điều kiện: $\displaystyle x\ \in \ N;\ y\ \in N)$
Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là T = 24x + 15y.

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là $\displaystyle \frac{1\ }{60}$ giờ
Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là $\displaystyle \frac{1\ }{30\ }$ giờ
Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất là $\displaystyle \frac{1\ }{30} x\ $ giờ
Thời gian để làm y chiếc mũ kiểu thứ hai là $\displaystyle \frac{1\ }{60\ } y\ $ giờ
Tổng thời gian để làm hai loại mũ trong một ngày là $\displaystyle \frac{1\ }{30} x\ +\frac{1\ }{60\ } y\ $ giờ
Vì một ngày phân xưởng làm việc 8 tiếng nên $\displaystyle \frac{1\ }{30} x\ +\frac{1\ }{60\ } y\ \leqslant \ 8\ \Rightarrow 2x+\ y\ \leqslant \ 480\ $
Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình $\displaystyle \begin{cases}
2x\ +\ y\ \leqslant 480\ & \
0\ \leqslant x\ \leqslant \ 200\ & \
0\ \leqslant \ y\ \leqslant \ 240\ &
\end{cases}( I)$ sao cho T= 24x + 15y có giá trị lớn nhất.
Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0) (hình dưới).

(A là giao điểm của trục tung và đường thẳng y = 240; C là giao điểm của đường thẳng y = 240 và 2x + y = 480, D là giao điểm của đường thẳng 2x + y = 480 và x = 200, E là giao điểm của trục hoành và đường thẳng x = 200).

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO.

Tính giá trị của biểu thức T = 24x + 15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO:

+ Tại đỉnh A: T = 24 . 0 + 15 . 240 = 3600

+ Tại đỉnh C: T = 24 . 120 + 15 . 240 = 6480

+ Tại đỉnh D: T = 24 . 200 + 15 . 80 = 6000

+ Tại đỉnh E: T = 24 . 200 + 15 . 0 = 4800

+ Tại đỉnh O: T = 0

Có 0 < 3600 < 4800 < 6000 < 6480

So sánh giá trị của biểu thức T tại các đỉnh, ta thấy T đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi x 120 và y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C.

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi là 6480 nghìn đồng hay 6 480 000 đồng.

Timi · Answer

Bài toán này là bài toán tối ưu, chúng ta cần tìm số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai cần sản xuất trong một ngày. Đặt số lượng mũ kiểu thứ nhất là $x$ và số lượng mũ kiểu thứ hai là $y$.

Theo đề bài, thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Vậy thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất là $2x$ và thời gian để làm ra $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $y$.

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Vậy trong 8 giờ làm việc mỗi ngày, phân xưởng làm được $8 	imes 60 = 480$ chiếc mũ kiểu thứ hai.

Thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Vậy ta có hệ phương trình:
\begin{align*}
x &\leq 200 \
y &\leq 240
\end{align*}

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Vậy tổng tiền lãi thu được trong một ngày là $24x + 15y$.

Để tìm số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $24x + 15y$ trong miền xác định $x \leq 200$, $y \leq 240$.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị. Chúng ta vẽ đồ thị của hàm $24x + 15y$ trong miền xác định $x \leq 200$, $y \leq 240$. Sau đó, chúng ta tìm điểm cực đại trên đồ thị, đó chính là giá trị lớn nhất của hàm $24x + 15y$.

Tiếp theo, chúng ta sẽ giải bài toán theo từng bước.

NT · Answer

Gọi x là số lượng mũ kiểu thứ nhất cần sản xuất trong một ngày và y là số lượng mũ kiểu thứ hai cần sản xuất trong một ngày.

Theo đề bài, thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Vậy ta có phương trình:

2y = x

Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày, tức là tổng thời gian sản xuất cả hai loại mũ là 8 giờ. Ta có công thức tính tổng thời gian sản xuất:

(2y) * t + y * t = 8

Trong đó t là thời gian làm ra một chiếc mũ (giả sử như nhau cho cả hai loại mũ).

Thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Vậy ta có hệ phương trình:

x <= 200

y <= 240

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Vậy tổng tiền lãi thu được trong một ngày là:

24x + 15y

Để tìm số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu:

f(x, y) = 24x + 15y

với các ràng buộc đã nêu.

Qua việc giải hệ phương trình và bất đẳng thức, ta sẽ tìm được giá trị của x và y để hàm mục tiêu f(x, y) đạt giá trị lớn nhất.

Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân...