Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Từ M Kẻ ME vuông AB, MF vuông AC ( E thuộc AB, F thuộc AC ). Chứng minh:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) EF // BC
c) BF đi qua trung điểm EM

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Từ M Kẻ ME vuông AB, MF vuông AC ( E thuộc AB, F thuộc AC ). Chứng minh:
a)	Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b)	EF // BC 
c)	BF đi qua trung điểm EM

Miyayayaya · Accepted Answer

a)
$\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại A ⟹ $\displaystyle \widehat{BAC} \ =\ 90^{0}$ ⟹ $\displaystyle \widehat{EAF} \ =\ 90^{0}$
$\displaystyle ME\bot AB$ ⟹ $\displaystyle \widehat{AEM} \ =\ \widehat{MEB} \ =\ 90^{0}$
$\displaystyle MF\bot AC$ ⟹ $\displaystyle \widehat{AFM} \ =\ \widehat{MFC} \ =\ 90^{0}$
Xét tứ giác AEMF có $\displaystyle \widehat{EAF} \ =\ \widehat{AEM} \ =\ \widehat{AFM} \ =\ 90^{0}$
⟹ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b)
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
⟹ $\displaystyle EM\ //\ AF,\ FM//AE$
⟹ $\displaystyle ME\ //\ AC,\ MF\ //AB$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có $\displaystyle ME//AC$, M trung điểm BC
⟹ E là trung điểm AB
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có $\displaystyle MF//AB$, M trung điểm BC
⟹ F là trung điểm AC
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có E là trung điểm AB, F là trung điểm AC
⟹ $\displaystyle EF$ là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle ABC$
⟹ $\displaystyle EF\ //\ BC$

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán hình học trong tam giác vuông. Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường trung tuyến để chứng minh các phần a), b), và c).

a) Để chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau là bằng nhau và hai cặp góc đối nhau là vuông.

b) Để chứng minh EF // BC, ta cần chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật và AM là đường trung tuyến.

c) Để chứng minh BF đi qua trung điểm EM, ta cần chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật và BF // AE.

2. Giải quyết từng phần của bài toán:

a) Ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau là bằng nhau và hai cặp góc đối nhau là vuông.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên AM là đường trung tuyến. Do đó, ta có ME = MF (đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần bằng nhau).

Ta cũng có góc EMA = góc FMA = 90° (do đường trung tuyến vuông góc với cạnh đối diện).

Vậy, hai cặp cạnh đối nhau là bằng nhau và hai cặp góc đối nhau là vuông. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) Ta cần chứng minh EF // BC.

Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật (đã được chứng minh ở phần a)), nên các đường chéo EM và AF là song song và bằng nhau.

Do đó, ta có góc EAF = góc EMA = 90° (góc giữa đường chéo và cạnh của hình chữ nhật).

Vậy, ta có EF // BC (hai góc đồng quy của các đường song song với một đường thẳng là bằng nhau).

c) Ta cần chứng minh BF đi qua trung điểm EM.

Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật (đã được chứng minh ở phần a)), nên các đường chéo EM và AF là song song và bằng nhau.

Do đó, ta có BF // AE (hai đường chéo của hình chữ nhật là song song).

Vì EM là đường trung tuyến, nên EM chia AE thành hai phần bằng nhau. Do đó, BF cũng chia EM thành hai phần bằng nhau.

Vậy, BF đi qua trung điểm EM.

Kết luận: Tứ giác AEMF là hình chữ nhật, EF // BC, và BF đi qua trung điểm EM.

호앙 · Answer

{"userId":5171087,"userName":"Linh Nguyễn"}a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật:
Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AM = MB = MC.
Xét tứ giác AEMF. Ta có:

AE = AB - BE = AB - AM
AF = AC - CF = AC - AM

Vì AM = MB và AM = MC, nên ta có:
AE = AB - AM = AB - MB = BE
AF = AC - AM = AC - MC = CF
Do đó, tứ giác AEMF có hai cạnh đối xứng (AE = MF và AF = ME) và hai cạnh kề bằng nhau (AE = BE và AF = CF). Vì vậy, tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh EF // BC:
Ta có tứ giác AEMF là hình chữ nhật, do đó các đường chéo của nó là đường trung bình và cắt nhau ở trung điểm. Vì vậy, ta có ME là đường trung bình của cạnh AF và cạnh BE.
Do đó, theo định lí đường trung bình trong tam giác, ta có EF // BC.
c) Chứng minh BF đi qua trung điểm EM:
Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật, nên trung điểm của cạnh AE cũng là trung điểm của cạnh MF. Vì vậy, ta có trung điểm của cạnh AE là trung điểm của cạnh MF.
Do đó, BF đi qua trung điểm EM.

TomSoCute 🐻 · Answer

{"userId":5171087,"userName":"Linh Nguyễn"}

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A và AM là đường trung tuyến, do đó M là trung điểm của BC.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Pythagoras, ta có: AB^2 = AM^2 + BM^2.

Vì AM = BM, nên AB^2 = 2AM^2.

Từ đó suy ra, AB = √2 * AM.

Vì ME vuông AB, nên EM = AM.

Vì MF vuông AC, nên FM = AM.

Do đó, ta có EM = FM = AM.

Vậy, tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) Ta đã chứng minh được tứ giác AEMF là hình chữ nhật, nên các cạnh EM và AF là song song và bằng nhau.

Vì EM // AB và AF // AC (do EM và AF là đường cao của tam giác vuông ABC), nên theo tính chất của hình chữ nhật, ta có EF // BC.

c) Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật, nên đường chéo AE cắt nhau tại trung điểm của đường chéo MF.

Vì M là trung điểm của BC, nên BF đi qua trung điểm EM.

Vậy, BF đi qua trung điểm EM.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Từ M Kẻ ME vuông AB, MF vuông AC ( E thuộc AB, F thuộc AC ). Chứng minh: a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật b) EF // BC c) BF đi qua trung điểm EM