Câu 3: Cho tam giác ABC nhọn có cạnh AB nhỏ hơn AC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF=AC. a) Chứng minh tam giác AEF = tam giác ABC và EF=BC. b) Gọi giao điểm của...

a) Để chứng minh tam giác AEF = tam giác ABC và EF = BC, ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác đồng dạng. Đầu tiên, ta biết AE = AB và AF = AC. Vì vậy, ta có thể suy ra tam giác AEF và tam giác ABC là đồng dạng theo định lý góc-góc-góc (AAA). Tiếp theo, ta cần chứng minh EF = BC. Ta biết rằng AE = AB và AF = AC, từ đó suy ra tứ giác AEFC là hình bình hành. Do đó, ta có EC = AF = AC và FC = AE = AB. Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên ta có AB < AC. Từ đó, ta có AB < AC = EC, suy ra tam giác ABC và tam giác CEB không đồng dạng. Tuy nhiên, ta đã chứng minh được tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng, nên ta có EF = BC theo định lý đồng dạng tam giác. b) Để chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC, ta sẽ sử dụng định lý góc phân giác. Gọi D là giao điểm của BC và EF. Ta cần chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC, tức là góc BAD = góc DAC. Vì tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng, nên ta có góc BAE = góc EAF và góc BCA = góc CEF theo định lý đồng dạng góc. Ta cũng biết rằng tứ giác AEFC là hình bình hành, nên góc EAF = góc CEF theo tính chất của hình bình hành. Từ đó, ta có góc BAE = góc BAC - góc CAE = góc BAC - góc CEF = góc BAD. Vậy, ta đã chứng minh được AD là tia phân giác của góc BAC.