cho tam giác ABC. vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. chứng minh a) BF=CE, BFvuông góc CE b) gọi M là trung điểm của BC. chứng minh rằng: AM=1/2EF

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông cân và tính chất của trung điểm. a) Ta có tam giác vuông cân ABE và ACF. Vì đây là tam giác vuông cân nên ta có các đẳng thức sau: $$ $$ Ta cần chứng minh BF = CE và BF vuông góc CE. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh BF = CE. Vì tam giác vuông cân ABE và ACF nên ta có: $$ Do đó, ta có hai tam giác AFB và AEC là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: $$ Vì AB = AC (vì tam giác ABC là tam giác cân), nên ta có: $$ Vậy ta đã chứng minh được BF = CE. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh BF vuông góc CE. Ta biết rằng tam giác ABE và ACF là tam giác vuông cân, nên ta có: $$ Vì BF = CE (đã chứng minh ở trên), nên ta có hai tam giác AFB và AEC là hai tam giác đồng dạng (do có hai cạnh bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các góc của hai tam giác này: $$ Vì $$ (vì tam giác vuông cân), nên ta có: $$ Do đó, ta có BF vuông góc CE. Vậy ta đã chứng minh được BF = CE và BF vuông góc CE. b) Ta cần chứng minh AM = \frac{1}{2}EF. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh AM = \frac{1}{2}EF. Vì M là trung điểm của BC, nên ta có: $$ Ta biết rằng tam giác ABE và ACF là tam giác vuông cân, nên ta có: $$ Vì BM = MC và AB = AC (vì tam giác ABC là tam giác cân), nên ta có hai tam giác ABM và ACM là hai tam giác đồng dạng (do có hai cạnh bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: $$ Vì AB = AC (vì tam giác ABC là tam giác cân), nên ta có: $$ Do đó, ta có AM = CM = \frac{1}{2}(BM + MC) = \frac{1}{2}BC. Ta biết rằng tam giác ABE và ACF là tam giác vuông cân, nên ta có: $$ Vì BM = MC và AB = AC (vì tam giác ABC là tam giác cân), nên ta có hai tam giác ABM và ACM là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: $$ Vì AB = AC (vì tam giác ABC là tam giác cân), nên ta có: $$ Do đó, ta có EF = CF = \frac{1}{2}(BF + FC) = \frac{1}{2}BC. Vậy ta đã chứng minh được AM = \frac{1}{2}EF.