Cho A = 1.2.3......29, B = 30.31.32.....58. Chứng minh rằng A + B chia hết cho 59.

Đây là một bài toán thuộc lĩnh vực Số học trong Toán học. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về tính chất của số nguyên tố và phép chia có dư. Bước 1: Xác định A và B Chúng ta có $A = 1.2.3...29$ và $B = 30.31.32...58$. Bước 2: Chứng minh $A + B$ chia hết cho 59 Đầu tiên, ta nhận thấy rằng số 59 là một số nguyên tố nên nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Tiếp theo, ta nhận ra rằng $A + B = (1+30).(2+31)...(29+58)$. Vì vậy, $A + B = 31.33...87$. Ta thấy rằng mỗi số trong chuỗi từ 31 đến 87 đều có dạng $30k + i$, trong đó i từ 1 đến 29 và k từ 1 đến 29. Do đó, ta có thể viết lại biểu thức trên thành $(30*1 +1)(30*2 +2)...(30*29 +29)$. Như vậy, khi chia cho số nguyên tố p=59, mỗi nhân tử trên chỉ quan tâm đến phần dư của nó. Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức trên thành $(30*1 +1)(30*2 +2)...(30*29 +29) \equiv 1.2...29 (mod\ 59)$. Như vậy, $A + B \equiv A (mod\ 59)$. Do đó, nếu A chia hết cho 59 thì $A + B$ cũng chia hết cho 59. Tuy nhiên, rõ ràng là A không chia hết cho 59 (vì A nhỏ hơn 59). Vậy phải chứng minh sao cho $A + B$ chia hết cho 59? Đáp án là: Chúng ta đã biến đổi sai từ bước này "$A + B = (1+30).(2+31)...(29+58)$". Thực ra, $A+B$ không phải là tích của các số từ $31$ đến $87$, mà là tổng của hai tích $A$ và $B$. Vậy nên, để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm một cách khác. Bước mới: Chứng minh $A \equiv -B (mod\ 59)$ Chúng ta có thể viết lại A và B như sau: $A = 1.2...28.29$ $B = (30.31...57.58) = (-29)(-28)...(-2)(-1) \equiv (-1)^{29}.1.2...28.29 \equiv -1.2...28.29 \equiv -A (mod\ 59)$ Vậy, $A \equiv -B (mod\ 59)$. Do đó, $A + B \equiv A - A \equiv 0 (mod\ 59)$. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $A + B$ chia hết cho 59.