Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng x/x+2y + y/y+2z + z/z+2x lớn hơn hoặc bằng 1

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán về Bất đẳng thức trong số học. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh và kỹ thuật đặt giả thiết. Bước 1: Đặt giả thiết Chúng ta có thể đặt $a = x/(x+2y)$, $b = y/(y+2z)$ và $c = z/(z+2x)$. Bước 2: Chuyển đổi bất đẳng thức Với các giả thiết trên, bài toán trở thành việc chứng minh rằng $a + b + c \geq 1$. Bước 3: Sử dụng tính chất của số thực dương Do x,y,z là số thực dương nên a,b,c cũng là số thực dương. Vì vậy, theo tính chất của số thực dương, ta có: $a+b+c = \frac{x}{x+2y} + \frac{y}{y+2z} + \frac{z}{z+2x}$ $= \frac{x^2}{x(x+2y)} + \frac{y^2}{y(y+2z)} + \frac{z^2}{z(z+2x)}$ $= \frac{x^2}{xy+2y^2} + \frac{y^2}{yz+2z^2} + \frac{z^2}{zx+2x^2}$ $= \frac{x^2z + 2x^2y + y^2x + 2y^2z + z^2y + 2z^2x}{xyz+2yz^2+zyx+4xyz}$ $= \frac{3xyz + 4xyz}{3xyz+4xyz} = 1$ Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức $a+b+c \geq 1$.